专题1.4 数列（解析版）

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专题 1.4 数列

——上海最新真题模拟题 50 题精

选

一、单选题

1．（2020·上海奉贤区·高三一模）一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有

A．个 B．个 C．个 D．无穷多个

【答案】D

【分析】通过举特例可以选出正确答案.

【详解】例如数列：，显然值为 3 的项数有无穷多个.

故选：D

【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.

2．（2020·上海青浦区·高三二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有

垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相

逢?”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第

一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的

一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.

【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列；大小老

鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列.设是前天两只老鼠打洞长度的

和.

第天，；

第天，，显然大于 .

所以两鼠相逢需要的最少天数为天.

故选：B

【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.

3．（2020·上海奉贤区·高三一模）由个互不相等的正数组成的矩阵中，

每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，

下列判断正确的有

① 第列中的必成等比数列；②第列中的不一定成等比数列；

③ ；

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的

性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.

【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有 .

、、分别为：，它们成等

比数列，因此有：，因此说法①正确；

题中已知可知这九个数都不互相相等，故不

取等号），因此说法③正确；

当显然符合已知条件，所以说法②正确.

故选：C

【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用.

4．（2017·上海高考真题）在数列中，，，则

A．等于 B．等于 0 C．等于 D．不存在

【答案】B

【详解】数列中，，则，故选 B.

5．（2020·上海普陀区·高三三模）记为数列的前项和．“对任意正整数，均

有 ”是“ 为递增数列”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系.

【详解】当时，则，，

则“对任意正整数，均有 ”是“ 为递增数列”的充分条件；

如数列为、、、、、，显然数列是递增数列，但是不一定大于零，

还有可能小于或等于零，

所以，“对任意正整数，均有 ”不是“ 为递增数列”的必要条件，

因此，“对任意正整数，均有 ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件，

故选 A.

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判

断，考查推理能力，属于中等题.

6．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列的通项公式为，

其前项和，则双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用与求得 ,再根据渐近线方程为

求解即可.

【详解】由得 .

又即,故,故双曲线渐近线为

故选 C

【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型.

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