专题1.3 数列-常规型（原卷版）

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专题 1.3 数列-常规型

（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明 an－an－1＝

d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明 2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，

则只需举出反例即可，也可以用反证法．

（2）数列求和的常用方法：

①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

③对于结构，利用分组求和法；

④对于结构，其中是等差数列，公差为，则

，利用裂项相消法求和．

（3）数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列）

①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负

相间等特征时可能用并项求和法；

⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

（4）裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突

破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

①；② ；

③； ④

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导

致计算结果错误．

（5）数列求和的方法技巧

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

1．已知数列的前项和为．

（1）证明：数列为等比数列，并求出．

（2）求数列的前项和．

2．已知分别是等差数列和等比数列，，且．

（1）若成等差数列，求的通项公式；

（2）当时，证明：．

3．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为．

① 求；

② 若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

4．设数列满足，且，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

5．已知 Sn为数列{an}的前 n项和，a1=1，Sn=an+1-1．

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足 2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差．

6．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和

的等比中项．

（1）求的通项公式；

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