专题1.2函数与导数--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第一篇 排查考点夯基础 【教师版】

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专题 1.2 函数与导数
1. 理解函数定义时， 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，
只能一对一或者多对一，不能一对多，定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，定义域、对应法则
确定，值域也就确定，注意对应法则相同，定义域不同的函数不是同一函数.
2.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，
被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗
漏,实际问题要考虑变量的实际意义，注意挖掘隐含条件．对抽象函数，只要对应关系相同，
括号里整体的取值范围就完全相同．
3. 求函数解析式的方法：有直接法、待定系数法、配凑法、配方法、换元法；用换元法求解析式时，要注
意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不
是几个函数，用解析式表示分段函数时，注意要书写正确，即 ，分段函数的值域是各
段函数值域的并集.
5. 求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合已知或易作出图象的函数，特别是二次函数在某个区间上的最值．
(3)基本不等式法：特别适合分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合可导函数．
(5)换元法:适应复合函数，即先由定义域求出内函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的图像
与性质求出外函数的值域，即为函数的值域，利用换元法求值域时，要特别注意新元的范围．
(6)分离常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等
号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
6. 函数的奇偶性
(1) 是奇函数 对定义域内任意 ，都有 对定义域内任意 ，都有
1
图像关于原点对称；
（2） 是偶函数 对定义域内任意 ，都有 对定义域内任意 ，都有
图像关于 轴对称；
（3） 是偶函数 对定义域内任意 都有 =
⇔y=f(x)
的图象关于直线
x=a
对称；
（4） 是奇函数 对定义域内任意 都有 =－
⇔y=f(x)
的图象关于点
(a , 0)
对称；
判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意
使定义域不受影响．
7.函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上
若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则 f ( － x )= f ( x )= f (| x |) ．
(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f (0) ＝ 0 .
故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件，已知函数奇偶性求参数常用特值法.
8.函数的单调性
(1)判定函数单调性方法：
① 定义法：若 ，那么 设
x1
⋅x2∈
[
a ,b
]
, x1≠x2
，那么
在 上是增函数；
若 ，那么 设
x1
⋅x2∈
[
a ,b
]
, x1≠x2
，那么
上是减函数.
② 求导法：设函数
在某个区间内可导，如果
f'(x)>0
，则
f(x)
为增函数；如果
f'(x)<0
，则
f(x)
为减函数.
③ 性质法:如果函数
f(x)
和
g(x)
在相同区间上是单调函数,则
（i）增函数+增函数是增函数； （ii）减函数+减函数是减函数；
（iii）增函数-减函数是增函数； （iv）减函数-增函数是减函数；
④ 复合函数单调性:“同增异减”
（2）已知含参数的可导函数 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关
系，转化为在该区间上 （
¿0
）恒成立（且不恒为 0）问题，通过参变分离或分类讨论求出参数
2
的范围，再验证参数取等号时是否符合题意.
（3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”
连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代
替．
9. 函数 的图象的对称性结论
① 若函数
y=f(x)
关于 对称 对定义域内任意 都有 = 对定义域内任意 都
有 = ；
② 函数 关于点（ ，0） 对定义域内任意 都有 =－ =－
；
③ 若函数
y=f(x)
对定义域内任意 都有
f(x+a)=f(b−x)
,则函数
f(x)
的对称轴是
x=a+b
2
；
④ 若函数
y=f(x)
对定义域内任意 都有 ,则函数
f(x)
的对称轴中心为 ；
⑤ 函数 关于 对称.
10.两个函数对称的结论
① 两个函数
y=f(x+a)
与
y=f(b−x)
的图象关于直线
x=a+b
2
对称.
② 函数 与函数 的图象关 于直线 (即 轴)对称.
③ 函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
④ 函数 与函数 的图象关于点（0,0）（即原点)对称.
11．函数
y=f(x)
的图象变换
3
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