专题1.1 集合及其运算（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 1.1 集合的概念与运算

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一集合的含义与表示...................................................................................................................................1

题型二集合的基本关系.......................................................................................................................................2

题型三集合的基本运算.......................................................................................................................................3

题型四利用集合的运算求参数..........................................................................................................................4

题型五集合中的新定义问题..............................................................................................................................5

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................7

一、题型全归纳

题型一集合的含义与表示

【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

【例 1】若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝(　　)

A. B. C.0 D.0 或

【答案】D

【解析】若集合 A中只有一个元素，则方程 ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝，符合题意；当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝，所以 a的取值为 0或.

【例 2】已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A中元素的个数为(　　)

A.9 B.8 C.5 D.4

【答案】A

【解析】解法一：由x2＋y2≤3 知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以 x∈{－1，0，1}，y∈{－

1，0，1}，所以 A中元素的个数为 CC＝9，故选 A。

解法二：根据集合 A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x2＋y2＝3中有 9个整点，

即为集合 A的元素个数，故选 A。

题型二集合的基本关系

【题型要点】

(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系 (要注意区间端点的取

舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．

【例 1】(2020·河北衡水中学调研)已知集合 A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合 B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，

则实数 m的取值范围为________.

【答案】 (－∞，4]

【解析】A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}，

当B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2。

当B≠∅时，若 B⊆A，如图所示

则

解得 2<m≤4，

综上，m的取值范围为(－∞，4]。

【例 2】(2020 云南省楚雄州十校联考)已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0} ，B＝{x|x2－2mx ＋m2－

4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数 m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数 m的取值范围．

【解析】　由已知得 A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2.

(2)∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，∵A⊆∁RB，

∴m－2＞3或m＋2＜－1，即 m＞5或m＜－3.

∴实数 m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}．

题型三集合的基本运算

【题型要点】集合基本运算的求解规律

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用 Venn 图求解．

(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．

【例 1】已知集合 M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则 M∩N＝(　　)

A．{x|－4<x<3}　　　　　　 B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}

【答案】C　

【解析】方法一：因为 N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，所以 M∩N＝{x|－2<x<2}，故选 C.

方法二：由通解可得 N＝{x|－2<x<3}．因为－3∉N，所以－3∉M∩N，排除 A，B；

因为 2.5∉M，所以 2.5∉M∩N，排除 D，故选 C。

【例 2】(2020·开封一模)已知集合 A＝{y|y＝2x，x>0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，则 A∩(∁RB)＝(　　)

A．[0,1) B．(1,2) C．(1,2] D．[2，＋∞)

【答案】　C

【解析】　由题意易得，A＝(1，＋∞)，B＝(2，＋∞)，∴∁RB＝(－∞，2]，∴A∩(∁RB)＝(1,2]．故选 C.

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