专题01三角函数与解三角形（解析版）-2021届高考数学大题规范强化训练

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2021 届高考大题规范答题强化训练
专题 01 三角函数与解三角形
【试题来源】2020 年全国 2卷理科 17
【试题题干】
△ABC
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC
．
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求
△ABC
周长的最大值.
【规范答题步骤】
（1）由正弦定理可得：
BC2− A C2− A B2=AC ⋅AB
，
∴cos A=A C2+A B2− B C2
2AC ⋅AB =−1
2
，·······································余弦定理求
cos A
，3分
∵A∈
(
0, π
)
，
∴A=2π
3
.··························································由余弦值求角，6分
（2）由余弦定理得：
，
即
(
AC+AB
)
2− AC ⋅AB=9
.···································余弦定理得三角形另两边关系，8分
∵AC ⋅AB≤
(
AC+AB
2
)
2
（当且仅当
AC=AB
时取等号），
∴9=
(
AC+AB
)
2− AC ⋅AB ≥
(
AC+AB
)
2−
(
AC+AB
2
)
2
=3
4
(
AC +AB
)
2
，利用基本不等式得两边和的大
小关系，10 分
解得：
AC+AB ≤ 2
√
3
（当且仅当
AC=AB
时取等号），
∴△ABC
周长
L=AC +AB+BC ≤3+2
√
3
，
∴△ABC
周长的最大值为
3+2
√
3
.
·······································································解基本不等式求得周长最大值，12 分
【试题来源】2020 年全国 1卷文科 18
1 / 25
【试题题干】
△ABC
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 B=150°.
（1）若 a=
√
3
c，b=2
√
7
，求
△ABC
的面积；
（2）若 sinA+
√
3
sinC=
√
2
2
，求 C.
【规范答题步骤】
（1）由余弦定理可得：
b2=28=a2+c2−2ac ⋅cos 150 °=7c2
，·······················余弦定理建立边
a , c
的方程，3分
∴c=2, a=2
√
3,∴△ABC
的面积：
S=1
2ac sin B=
√
3
；····································求得
a , c
边长，进而求得三角形面积，6分
（2）
∵A+C=30°
，
∴sin A+
√
3 sin C=sin (30° −C )+
√
3 sin C
¿1
2
cos C+
√
3
2
sin C=sin (C+30 °)=
√
2
2
，·······················求得角 C的三角函数值，10 分
∵0°<C<30 ° ,∴30°<C+30 °<60 °
，
∴C+30 °=45° , ∴C=15 °
.
················································································由三角函数值求得角 C，12 分
【试题题干】
△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知
cos2(π
2+A)+cos A=5
4
．
（1）求 A；
（2）若
b − c=
√
3
3a
，证明：△ABC 是直角三角形．
【规范答题步骤】
（1）因为
cos2
(
π
2+A
)
+cos A=5
4
，所以
sin2A+cos A=5
4
，···················诱导公式，1分
即
1−cos2A+cos A=5
4
，······························································平方和公式，2分
解得
cos A=1
2
，又
0<A<π
，················································求得角 A的余弦值，4分
2 / 25
所以
A=π
3
；·····················································································求角 A，6分
（2）因为
A=π
3
，所以
cos A=b2+c2− a2
2bc =1
2
，
即
b2+c2−a2=bc
①，
又
b − c=
√
3
3a
②， 将②代入①得，
b2+c2−3
(
b − c
)
2=bc
，·····················余弦定理，8分
即
2b2+2c2−5bc=0
，而
b>c
，解得
b=2c
，
所以
a=
√
3c
，········································································求解三边关系，10 分
故
b2=a2+c2
，
即
△ABC
是直角三角形．···········································勾股定理证明直角三角形，12 分
1．【天津市南开区 2021 届高三下学期一模】在 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ，
．已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
(1)由 化简，
得 ，由正弦定理，得 ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .
(2)因为 ， ，所以由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
3 / 25
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