专题01集合与常用逻辑（解析版）

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大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（上海卷）

专题 01 集合与常用逻辑

1．【2020 年上海卷 16】命题 p：存在 a∈R且a≠0，对于任意的 x∈R，使得 f（x+a）＜f（x）+f（a）；

命题 q1：f（x）单调递减且 f（x）＞0恒成立；

命题 q2：f（x）单调递增，存在 x0＜0使得 f（x0）＝0，

则下列说法正确的是（　　）

A．只有 q1是p的充分条件

B．只有 q2是p的充分条件

C．q1，q2都是 p的充分条件

D．q1，q2都不是 p的充分条件

【答案】解：对于命题 q1：当 f（x）单调递减且 f（x）＞0恒成立时，

当a＞0时，此时 x+a＞x，

又因为 f（x）单调递减，

所以 f（x+a）＜f（x）

又因为 f（x）＞0恒成立时，

所以 f（x）＜f（x）+f（a），

所以 f（x+a）＜f（x）+f（a），

所以命题 q1⇒命题 p，

对于命题 q2：当 f（x）单调递增，存在 x0＜0使得 f（x0）＝0，

当a＝x0＜0时，此时 x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，

又因为 f（x）单调递增，

所以 f（x+a）＜f（x），

所以 f（x+a）＜f（x）+f（a），

所以命题 p2⇒命题 p，

所以 q1，q2都是 p的充分条件，

故选：C．

2．【2013 年上海理科 15】设常数 a∈R，集合 A＝{x|（x1﹣）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a1}﹣，若 A∪B＝

R，则 a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）

【答案】解：当 a＞1时，A＝（﹣∞，1] [∪a，+∞），B＝[a1﹣，+∞），

若A∪B＝R，则 a1≤1﹣，

1∴＜a≤2；

当a＝1时，易得 A＝R，此时 A∪B＝R；

当a＜1时，A＝（﹣∞，a] [1∪，+∞），B＝[a1﹣，+∞），

若A∪B＝R，则 a1≤﹣a，显然成立，

∴a＜1；

综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．

故选：B．

3．【2013 年上海理科 16】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（

）

A．充分条件 B．必要条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，

根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．

所以“好货”⇒“不便宜”，

所以“不便宜”是“好货”的必要条件，

故选：B．

4．【2020 年上海卷 01】已知集合 A＝{1，2，4}，集合 B＝{2，4，5}，则 A∩B＝　　．

【答案】解：因为 A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，

则A∩B＝{2，4}．

故答案为：{2，4}．

5．【2019 年上海卷 01】已知集合 A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则 A∩B＝　　．

【答案】根据交集的概念可得 A∩B＝（2，3）．

故答案为：（2，3）．

6．【2017 年上海 01】已知集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，则 A∩B＝　　　　．

【答案】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，

∴A∩B＝{3，4}．

故答案为：{3，4}．

7．【2017 年上海 12】如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”

的点在正方形的顶点处，设集合 Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点 P∈Ω，过 P作直线 lP，使得不在 lP上的“▲”

的点分布在 lP的两侧．用 D1（lP）和 D2（lP）分别表示 lP一侧和另一侧的“▲”的点到 lP的距离之和．若

过P的直线 lP中有且只有一条满足 D1（lP）＝D2（lP），则 Ω中所有这样的 P为　　　　．

【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是 A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），

线段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 E，F，G，H，

易知 EFGH 为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为 M（x，y），

则

→

+MB

→

+MC

→

+MD

→

，

由此求得 M（3，2），即为平行四边形 EFGH 的对角线交于点 P2，

则符合条件的直线 lP一定经过点 P2，

且过点 P2的直线有无数条；

由过点 P1和P2的直线有且仅有 1条，

过点 P3和P2的直线有且仅有 1条，

过点 P4和P2的直线有且仅有 1条，

所以符合条件的点是 P1、P3、P4．

故答案为：P1、P3、P4．

8．【2015 年上海理科 01】设全集 U＝R．若集合 Α＝{1，2，3，4} ，Β＝{x|2≤x≤3}，则 Α∩∁UΒ＝

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