专题01分类加法计数原理与分布乘法计数原理（原卷版）-2021年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练

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2021 年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练
01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、考点传真：
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
二、知识点梳理：
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有
m
种不同的方法，在第 2 类方案中有
n
种不同的方法.那么
完成这件事共有
N
＝
m
＋
n
种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有
m
种不同的方法，做第 2 步有
n
种不同的方法，那么完成这件事共
有
N
＝
m
×
n
种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独
立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，
只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
【注意点】
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.
1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.
2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.
三、例题：
例1.（2020 年全国 2卷理数，14）4名同学到 3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，
每个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有___________种.
1
例2.（2020 年全国新高考 1卷，3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲
场馆安排 1名，乙场馆安排 2名，丙场馆安排 3名，则不同的安排方法共有( )
A.120 种B.90 种C.60 种D.30 种
例 3. （2017 新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不
同的安排方式共有
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
例 4. (2016 年全国 II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
例 5. （2015 四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有
A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个
例 6. （2014 广东）设集合
 
 
12345
= , , , , { 1, 0,1}, 1, 2,3, 4,5
i
A x x x x x x i 
，那么集合
A
中满足条件“
1 2 3 4 5
1 3x x x x x     
”的元素个数为
A．60 B．90 C．120 D．130
例 7. （2014 安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
60
的共有
A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对
四、巩固练习：
1.从 1,2,3,…,10 中任意选出 3 个不同的数,使这 3 个数成等比数列,这样的等比数列的个数为(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8
2. 三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4 次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同
2
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