专题01分类加法计数原理与分布乘法计数原理（解析版）-2021年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练

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2021 年高考数学（理）计数原理与概率突破性讲练

01 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、考点传真：

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

二、知识点梳理：

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有

种不同的方法，在第 2 类方案中有

种不同的方法.那么

完成这件事共有

＝

＋

种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有

种不同的方法，做第 2 步有

种不同的方法，那么完成这件事共

有

＝

种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独

立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，

只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

【注意点】

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

三、例题：

例1.（2020 年全国 2卷理数，14）4名同学到 3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，

每个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有___________种.

【答案】36

【解析】由题意，分两步进行安排，第一步，将 4名同学分成 3组，其中 1组2人，其余 2组各 1人，有

种安排方法；第二步，将分好的 3组安排到对应的 3个小区，有种安排方法，所以不同的安

排方法有 (种).

8.答案：240

例2.（2020 年全国新高考 1卷，3）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲

场馆安排 1名，乙场馆安排 2名，丙场馆安排 3名，则不同的安排方法共有( )

A.120 种B.90 种C.60 种D.30 种

【答案】C

【解析】 .

例 3. （2017 新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不

同的安排方式共有

A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种

【答案】D

【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：

有

种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有

2 3

4 3

C A 36 

种．故选 D．

例 4. (2016 年全国 II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公

寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A．24 B．18 C．12 D．9

【答案】B

【解析】由题意可知

E F

有 6 种走法，

F G

有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有

6 3 18 

种走法

故选 B．

例 5. （2015 四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有

A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个

【答案】B

【解析】据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有

2A

个；若万位上排 5，则有

3A

个.所以共

有

2A

3 5 24 120A    

个，选 B．

例 6. （2014 广东）设集合

 

 

12345

= , , , , { 1, 0,1}, 1, 2,3, 4,5

A x x x x x x i  

，那么集合

中满足条件“

1 2 3 4 5

1 3x x x x x     

”的元素个数为

A．60 B．90 C．120 D．130

【答案】D

【解析】易知

1 2 3 4 5

1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论．其一：

1 2 3 4 5

1，此时，从

1 2 3 4 5

, , , ,x x x x x

中任取一个让其等于 1 或-1，其余等

于 0，于是有

1 1

5 2

10C C 

种情况；其二：

1 2 3 4 5

2，此时，从

1 2 3 4 5

, , , ,x x x x x

中任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1，其余等于 0，于

是有

2 2 1

5 5 2

2 40C C C 

种情况；其三：

1 2 3 4 5

3，此时，从

1 2 3 4 5

, , , ,x x x x x

中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、

另一个等于 1，其余等于 0,于是有

3 3 1 3 2

5 5 3 5 3

2 80C C C C C  

种情况．由于

10 40 80 130  

．

例 7. （2014 安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为

60

的共有

A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对

【答案】C

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