专题01 直线与圆相结合问题（第五篇）（解析版）

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第五篇解析几何

专题 01 直线与圆相结合问题

类型对应典例

圆的切线问题典例 1

直线与圆的取值范围问题典例 2

直线与圆的位置关系典例 3

【典例 1】【天津市杨村第一中学 2020 届高三月考】已知椭圆的左顶点为，右

焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为 .

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.

【思路引导】

（Ⅰ）先求出左顶点为，右焦点为的坐标，由题意求出的坐标，由斜率公式，根据直线的

斜率为，这样可以求出椭圆的离心率；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出，设的外接圆的圆心坐标为，由，得

，求得，求得切线方程，代入椭圆方程，求出 ,利用点到直线距离和

三角形面积公式，代入可求出，求出的值，求得椭圆方程.

【详解】

（Ⅰ）由题意可知：，设，由题意可知：M在第一象限，且，

，，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为：

，设的外接圆的圆心坐标为，由，得

，求得，，切线斜率为：，切线直线方程为

，即代入椭圆方程中,得，

，，

，

到直线的距离，的面积为，所以有

，，椭圆方程为： .

【典例 2】【江苏省 2019 届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂

直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．

（1）若，求的长；

（2）若中点为，求面积的取值范围．

【思路引导】

（1）先由 AB 的长度求出圆心 O到直线 AB 的距离，列方程求出直线 AB 的斜率，从而得到直线 CD 的斜

率，写出直线 CD 的方程，用垂径定理求 CD 得长度；（2）△ABE 的面积，先考虑直线

AB、CD 平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出 AB，再在△PME 中用勾股定理求出 PE，将面

积S表示成直线 AB 斜率 k的函数式，再求其范围.

解：（1）因为 AB＝，圆 O半径为 2

所以点 O到直线 AB 的距离为

显然 AB、CD 都不平行于坐标轴

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