专题01 长方体模型（原卷版）

3.0 envi 2025-02-13 16 4 263.76KB 3 页 3知币

专题 01 长方体模型（原卷版）

一、解题技巧归纳总结

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3．补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图 3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4所示

图1 图2 图3 图4

二、典型例题

例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱

的表面积为　　．

例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为

．

例4. 已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥

的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是　　．

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