专题01 长方体模型（解析版）

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专题 01 长方体模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3．补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图 3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4所示

图1 图2 图3 图4

二、典型例题

例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径

的大小可知：，即；

所以外接球的表面积为：．

故选：C．

例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱

的表面积为　　．

【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．

正四棱柱的对角线的长为球的直径，

现正四棱柱底面边长为，

设正四棱柱的高为，

，

解得，

那么该棱柱的表面积为．

故答案为：

例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为

．

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，

即，

由．

故答案为： .

例4.已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥

的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是　　．

【解析】由题意三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，三棱锥的三个侧面

的面积之和最大，三棱锥的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：

所以球的直径是 4，半径为 2，

所以三棱锥的体积，球的体积：，

所以该三棱锥的体积与球的体积的比值是．

故答案为：．

三、配套练习

1．张衡年年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，

他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，

，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为　　

A．30 B．C．D．36

【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，

正方体的外接球半径满足：，则，

由题意知：，

所以，，

该正方体的外接球的表面积为，

又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，

所以，

所以外接球的表面积为．

故选：．

2．棱长为 2的正方体的外接球的体积为　　

A．8 B．C．D．

【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，

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