专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质（文）（解析版）

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专题 01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质
溯本求源
推广延伸
推广 1：如图，已知椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(a>b>0)
，
AB
为经过对称中心
O(0,0 )
的弦，
P
为椭圆上异
于
A
，
B
的点，直线
，
PB
斜率存在，则
kPA kPB=− b2
a2=e2−1
．
1
【证明】设 ，
A
(
x1, y1
)
，则
B
(
−x1,−y1
)
，
，
∴kPA kPB =− b2
a2=e2−1
．
推广 2：如图，已知椭圆
y2
a2+x2
b2=1
(a>b>0)
，
AB
为经过对称中心
O(0,0 )
的弦，
P
为椭圆上异
于
A
，
B
的点，直线
，
PB
斜率存在，则
kPA kPB=− a2
b2=1
e2−1
．
【证明】证明方法同推广 1，此处不再赘述．
归纳统一
已知二次曲线
x2
m+y2
n=1
，
AB
为经过对称中心
O(0,0 )
的弦，
P
为该曲线上异于
A
，
B
的点，直线
PA
，
PB
斜率存在，则
kPA kPB=− n
m
．
【证明】证明方法同推广 1，此处不再赘述．
2
类比联想
中点弦性质：如图，设二次曲线：
x2
m+y2
n=1
，
A
，
B
为该曲线上的两点，
M
为弦
AB
中点，
O
为
坐标原点，则
kAB⋅kOM =− n
m
．
【证明】方法 1：（代数证明）设
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
，
则
AB
中点 ．
∵¿
{
x1
2
m+y1
2
n=1¿¿¿
，
∴x1
2−x2
2
m=− y1
2−y2
2
n
，
∴kOM
⋅kAB=
y1+y2
2
x1+x2
2
⋅y1−y2
x1−x2
=− n
m
．
方法 2：（几何证明）如下图，由于 ，易知
kOM =kAP
，
∵
PB
为中心弦，∴
kAP⋅kAB=− n
m
，
∴
kAB⋅kOM =− n
m
．
3
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