专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（原卷版）

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专题 1 圆锥曲线的轨迹方程问题

轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.

本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想

和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求

曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等

方法 1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含 x,y 的

等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：

1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平

面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点

满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）

A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为 3

C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得

2．（2020·湖南省高三期末）点与定点的距离和它到直线距离的比是常数 .

求点的轨迹方程；

3．（2021 年湖南省高三月考）已知动点 P到定点 A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，

求P点的轨迹方程．

由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比 e是常数的点的轨

迹叫做圆锥曲线。当 0<e<1 时为椭圆：当 e=1 时为抛物线；当 e>1 时为双曲线。。

4．（2020·重庆南开中学高三月考）已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边

，所在直线的斜率之积是．求点的轨迹方程：

5．（2021·四川省成都七中高三期中）设点，，直线，相交于点 M，且它们的

斜率之积为 k，对于结论：①当时，点 M的轨迹方程为；

② 当时，点 M的轨迹方程为；③当时，点 M的轨迹方程为 .

其中正确结论的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

由4、5题推广（圆锥曲线第三定义）：平面内的动点到两定点 A和B的斜率之积为 e²-1 的点的轨迹为椭圆

或双曲线。其中点 A、B关于原点对称，当 0<e²<1 时为椭圆，当 e²>1 时为双曲线。

注意：上述定义有个小瑕疵就是该动点轨迹不包含 A、B两点。

6．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线

的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（）

A． B． C． D．

7．（2021·江西上饶市·高三月考）已知点 ,圆.

(1)求圆中过点的弦的中点的轨迹方程；(2)点是圆上的动点，求中点的轨迹方程.

8．（2017·新课标 2卷高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在线段上，且满足

，求点的轨迹的直角坐标方程；（此题需要新课标地区掌握，新高考地区不考）

方法 2、相关点法：若轨迹点 P（x ,y）与已知曲线上的动点 Q（x0, y0）有关联，则可先列出关于 x

、

y0的方程组，利用x

、

y表示出x0

、

y0，把x0

、

y0 代入已知曲线方程便得动点 P的轨迹方程。

该方法也可拓展到极坐标系下，按相似处理方式完成（第 5题）。

注：若线段存在倍分关系，一般情况采用直角坐标系下的相关点处理；若存在旋转变换，一般可在极坐标

系下进行相关点处理。

知识储备：重心坐标公式；向量的运算公式；极坐标系的相关运算

1．（2021·天水市高三月考）动点椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足

.求点的轨迹方程.

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