专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 18 4 2.1MB 43 页 3知币

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专题 1 圆锥曲线的轨迹方程问题

轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.

本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想

和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求

曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等

方法 1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含 x,y 的

等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：

1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平

面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点

满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（）

A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为 3

C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得

【答案】ABD

【分析】设点 P的坐标，利用，即可求出曲线 C的轨迹方程，然后假设曲线 C上一点坐标，根据

BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与 C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．

【详解】设点 P（x，y），、，由，得，化简得 x2+y2+8x＝

0，即：（x+4）2+y2＝16，故 A选项正确；曲线 C的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为 4的圆，圆心与

点（1，1）的距离为，与圆上的点的距离的最小值为 ﹣4，最大值为 +4，

而3∈[﹣4，+4]，故 B正确；对于 C选项，设 M（x0，y0），由|MO|＝2|MA|，得

，又，联立方程消去 y0得x0＝2，解得 y0无解，故 C

选项错误；对于 D选项，设 N（x0，y0），由|NO|2+|NA|2＝4，得，又

，联立方程消去 y0得x0＝0，解得 y0＝0，故 D选项正确．

2．（2020·湖南省高三期末）点与定点的距离和它到直线距离的比是常数 .

求点的轨迹方程；

【答案】

【分析】根据题意可得，化简即可求出；

【详解】依题意有，化简得：，故的方程为 .

【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.

3．（2021 年湖南省高三月考）已知动点 P到定点 A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是，

求P点的轨迹方程．

【答案】轨迹方程是 .

【分析】利用动点 P到定点 A（5，0）的距离与到定直线的距离的比是可得方程，化简由此能求

出轨迹 M的方程．

【详解】由题意，设 P（x，y），则，化简得轨迹方程是．

故答案为

【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．

由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比 e是常数的点的轨

迹叫做圆锥曲线。当 0<e<1 时为椭圆：当 e=1 时为抛物线；当 e>1 时为双曲线。。

4．（2020·重庆南开中学高三月考）已知点，的坐标分别为，，三角形的两条边

，所在直线的斜率之积是．求点的轨迹方程：

【答案】（1）（2）

【分析】本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率,最后根据、

所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；

【解析】设点的坐标为，因为点的坐标分别为、，

所以直线的斜率，直线的斜率，

由题目可知，化简得点的轨迹方程；

【点睛】本题考查轨迹方程问题，处理问题的关键是能够通过“ 、所在直线的斜率之积是 ”

列出等式以及使用表示出三点的坐标．

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