专题01 圆锥曲线与重心问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 16 4 1.26MB 31 页 3知币

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专题 1、圆锥曲线与重心问题

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥

曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学

解题能力，增强学生的信心，备战高考．

三角形的重心：三角形三条中线的交点。

知识储备:

（1）G是

Δ ABC

的重心；重心坐标；

（2）G为

Δ ABC

的重心，P为平面上任意点，则；

（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是 2:1；

（4）重心与三角形的 3 个顶点组成的 3 个三角形的面积相等，即重心到 3 条边的距离与 3 条边的长成反比；

经典例题

例1、（2019 成都市树德中学高三二诊 12 题）抛物线的焦点为，点、、在上，且

的重心为，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，

由重心的坐标公式得，，，

设直线的方程为，由，消去得，

，由韦达定理得，，

所以，，

故，，

将点的坐标代入抛物线的方程得，得，

则，得，

则.

不在直线上，则，此时，，则 .

因此，的取值范围是 .故选：A.

【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．

例2．（2020·浙江高三月考）已知，，是第一象限内的点，且满足，

若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（）

A．B．C．D．与大小不确定

【答案】B

【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.

【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如

图所示：

 

1,0F

()

1,0F

1 2

4MF MF 

1 2

MF F△

1 2

MF F△1 2

IF F△

GF M△

1 2

S S

1 2

S S=

1 2

S S

,I G

1 2

,S S

1 2 1 2

4 2MF MF F F   

2 2

4 3

x y

 

因为是的内心，设内切圆的半径为，

所以，所以，所以，

又因为是的重心，所以，

所以，所以，故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求

较高，难度一般.

例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知、为椭圆的左、右焦点，的椭

圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围

是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点 P为上顶点，再根据为为

1 2

MF F△

 

1 2 1 2 1 2

2 2

MF MF F F r F F y

   



r

1 2 1 2

2 2 3

F F y F F r y

S 

  

1 2

MF F△

: 1: 2OG GM 

1 2 1

1 2

2 1 1

3 3 3 2 3

MOF F OF

F F y y

S S S 

    

 

1 2

S S=

 

2 2

1 0

x y a b

a b

   

1 2

PF F△

1 2

F GF



 

0, 3

 



 

0, 2

 



 

1 1

3 2

 

 

 

1,1

 





 

1 2

F GF



 

1 2

PF F△

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