专题01 圆的参数方程（解析版）

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圆的参数方程
一、例题讲解
1.（2020·广西·高考模拟） 在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C1
的参数方程为
{
x=−2+acos θ ,
y=−2+asin θ ,
（
θ
为参数，
a
是大
于
0
的常数）．以坐标原点为极点，
x
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆
的极坐标
方程为
ρ=2
√
2 sin(3π
4−θ)
．
(1)
求圆
C1
的极坐标方程和圆
C2
的直角坐标方程；
(2)
分别记直线
l:θ=π
12
，
ρ∈R
与圆
C1
，圆
C2
的异于原点的交点为
A
，
B
，若圆
C1
与圆
C2
外切，试求实数
a
的值及线段
AB
的长．
【答案】解：
(1)
圆
C1
的参数方程为
{
x=−2+acos θ ,
y=−2+asin θ¿
为参数，
a>0¿
，
由同角的平方关系可得
¿
.由
x=ρcos θ
，
y=ρsin θ
，
x2+y2=ρ2
，
可得
ρ2+4ρcos θ+4ρsinθ+8−a2=0
；圆
C2
的极坐标方程为
ρ=2
√
2 sin(3π
4−θ)
，
即为
ρ=2
√
2(
√
2
2cos θ+
√
2
2sin θ)=2 cos θ+2 sin θ
，即
ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ
，即有
x2+y2=2x+2y
，
即
¿
.
(2)
圆
C1
的圆心
C1(−2,− 2)
，半径
r1=a
，圆
C2
的圆心
C2(1,1)
，半径
r2=
√
2
，
若圆
C1
与圆
C2
外切，则
¿C1C2∨¿r1+r2
，可得
3
√
2=a+
√
2
，即
a=2
√
2
，
可得圆
C1
的极坐标方程为
ρ2+4ρcos θ+4ρsinθ=0
，即
ρ=−4(cos θ+sin θ)=−4
√
2sin (θ+π
4)
.
联立
l:θ=π
12
和
ρ=−4
√
2 sin(θ+π
4)
，可得
ρ1=−4
√
2 sin(π
12 +π
4)=−4
√
2×
√
3
2=−2
√
6
；
联立
l:θ=π
12
和
ρ=2
√
2 sin(3π
4−θ)=2
√
2sin (θ+π
4)
，可得
ρ2=2
√
2 sin(π
12 +π
4)=2
√
2×
√
3
2=
√
6
.
则
¿AB∨¿
√
6−(−2
√
6)=3
√
6
．
2.（2019-2020·江西·高考模拟） 在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
P
(
1+cos α ,sin α
)
，参数
α∈
[
0, π
]
，直线
l
的方向向量为
a
→
=
(
1,1
)
，且过定点
A
(
−1,0
)
.
(1)
在平面直角坐标系
xOy
中求点
P
的轨迹方程；
(2)
若直线
l
上有一点
Q
，求
¿PQ∨¿
的最小值．
【答案】解：
(1)
由题意知：点
P
的坐标满足
{
x=1+cos α，
y=sin α，α∈[0, π ]
，
消去参数
α
，可得点
P
的轨迹方程为
¿
．
1
(2)
直线
l
的参数方程为
{
x=−1+t ,
y=t ,
（
t
是参数）消去参数
t
，
可得直线
l
的直角坐标方程为
y=x+1
．
又点
P
的轨迹为半圆，圆心
(1,0)
到直线
l
的距离
d=¿1−0+1∨¿
√
2=
√
2>1¿
，
∴
直线
l
与点
P
的轨迹相离，
∴∨PQ ¿min=
√
2−1
．
3.（2019-2020·广西·高考模拟） 在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
{
x=
√
10 −a cos θ ,
y=8+
√
10 − a sinθ ,
o（
θ
为参
数，常数
a<10
）．以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
l
的极坐标方程为
ρsin
(
θ − π
4
)
=2
√
2
．
(1)
写出
C1
及直线
l
的直角坐标方程，并指出
C1
是什么曲线；
(2)
设
A
是曲线
C1
上的一个动点，求点
A
到直线
l
的距离的最小值．
【答案】解：
(1)
消去参数
θ
，即得
C1
的直角坐标方程为
x2+
(
y − 8
)
2=10 − a
o.
所以，当
a<10
时，
C1
表示以
(0,8)
为圆心，
√
10 −a
为半径的圆．
因为
ρsin
(
θ − π
4
)
=2
√
2
，所以
ρsin θ − ρ cos θ=4
，
因为
x=ρcos θ
，
y=ρsin θ
，所以直线
l
的直角坐标方程为
y − x=4
，即
x − y +4=0
．
(2)
圆心
C(0,8)
到直线
l
的距离为
d=¿0−8+4∨¿
√
12+
(
−1
)
2=2
√
2¿
，
若
d<r
，即
a<2
，圆
C1
与直线
l
相交，点
A
到直线
l
的距离的最小值为
0
．
若
d ≥ r
，即
10>a≥ 2
时，则点
A
到直线
l
的距离的最小值为
2
√
2−
√
10 − a
o.
综上所述，当
a<2
时，圆
C1
与直线
l
相交，点
A
到直线
l
的距离的最小值为
0
；
当
10>a≥ 2
时，点
A
到直线
l
的距离的最小值为
2
√
2−
√
10 − a
o．
4.（2019-2020·广西·高考模拟） 在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为
{
x=1+cos φ ,
y=sin φ
（
φ
为参数），现以原
点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)
求圆
C
的极坐标方程;
(2)
设
P
，
Q
是圆
C
上的两个动点，且
∠POQ=π
3
，求
¿OP∨+¿OQ∨¿
的最大值.
【答案】解：
(1)
曲线
C
的参数方程为
{
x=1+cos φ ,
y=sin φ
（
φ
为参数），
转化成直角坐标方程为：
¿
，进一步转化成极坐标方程为：
ρ2=2ρcos θ
，整理得：
ρ=2cos θ
．
(2)
设
P
的极坐标为
(
ρ1, θ
)
，
Q
(
ρ2, θ+π
3
)
，则
¿OP∨¿ρ1=2 cos θ
，
¿OQ∨¿ρ2=2 cos (θ+π
3)
,
则
¿OP∨+¿OQ∨¿2 cos θ+2 cos(θ+π
3)=3 cos θ −
√
3 sin θ=2
√
3 cos(θ+π
6)
，
2
又o
{
−π
2<θ<π
2,
−π
2<θ+π
3<π
2,
所以
−π
2<θ<π
6
,所以当
θ=−π
6
，
¿OP∨+¿OQ∨¿
取最大值
2
√
3
.
5.（2019-2020·陕西·高考模拟） 在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为o
{
x=−
√
3
2+cos α，
y=1
2+sin α
o（
α
为参
数）．以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)
设射线
l
的极坐标方程为
θ=2π
3
，若射线
l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，求
AB
的长；
(2)
设
M
，
N
是曲线
C
上的两点，若
∠MON=π
2
，求
△OMN
的面积的最大值．
【答案】解：
(1)
曲 线
C
的普通方程为
(
x+
√
3
2
)
2
+
(
y − 1
2
)
2
=1
， 即
x2+y2+
√
3x − y=0
， 得
ρ+
√
3 cos θ −sin θ=0
，
故曲线
C
的极坐标方程为
ρ=2sin
(
θ − π
3
)
，
显然射线
l
与曲线
C
相交的两点中，有一个为原点
O
，不妨设
O
与
A
重合，则
¿AB∨¿∨OB∨¿2sin
(
2π
3−π
3
)
=
√
3
．
(2)
不妨设
M
(
ρ1, θ
)
，
N
(
ρ2, θ+π
2
)
，
因为直线
OC
的斜率为
−
√
3
3
，所以过原点与圆
C
相切的切线的斜率为
√
3
，从而
θ∈
(
π
3,5π
6
)
．
则
△OMN
的面积
S=1
2ρ1ρ2=1
2⋅2 sin
(
θ − π
3
)
⋅2 sin
(
θ+π
2−π
3
)
=2sin
(
θ − π
3
)
cos
(
θ − π
3
)
=sin
(
2θ − 2π
3
)
，
当
sin
(
2θ − 2π
3
)
=1
，即
θ=7π
12
时，
Smax =1
o.
6.（2019-2020·湖南·高考模拟） 在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程
{
x=1+cos φ
y=sin φ
（
φ
为参数）．以
O
为极
点，
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)
写出圆
C
的极坐标方程；
(2)
设直线
l
的极坐标方程是
2ρsin(θ+π
3)=3
√
3
，射线
OM :θ=π
3
与圆
C
的交于
O
、两点，与直线
l
交于点
Q
，
求线段
PQ
的长．
【答案】解：
(1)
利用
cos2φ+sin2φ=1
，
3
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