专题01 巧求体积（原卷版）

3.0 envi 2025-02-13 16 4 188.54KB 3 页 3知币

巧求体积

对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合

理的方法加以求解。现结合实例说明如下：

1.公式法

公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。

例1.圆锥的母线长为 1,侧面展开图的圆心角为

240∘

,该圆锥的体积是多少?

变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且

侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．

2.作差法

作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。

例2.如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BD 是它的对角线，弧 BD 的圆心是 A，半径为 AB，将正方形

ABCD 以AB 边为轴旋转一周，求图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积。

变式. 如图(单位：cm)，求下图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

3.割补法

割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的

体积。

例3.已知三棱锥 A-BCD 的表面积为 S,其内有半径为 r的内切球 O（球 O与三棱锥 A-BCD 的每个面都相切，

即球心 O到三棱锥 A-BCD 每个面的距离都为 r），求三棱锥 A-BCD 的体积。

变式.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1的正方形，⊿ADE、⊿BCF 均为正三角形，

EF∥AB, ,则该多面体的体积为（）

A. B. C. D.

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