专题01 巧求体积（解析版）

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巧求体积
对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合
理的方法加以求解。现结合实例说明如下：
1.公式法
公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。
例1.圆锥的母线长为 1,侧面展开图的圆心角为
240∘
,该圆锥的体积是多少?
解:设圆锥的底面半径为 r,圆锥母线长为 1，又圆锥侧面展开图的圆心角为
240∘
，
240 π×1
180 =2πr ,r =2
3
。
所以圆锥的高
h=
√
1−
(
2
3
)
2
=
√
5
3
,
∴V圆锥=1
3πr2h=1
3π×
(
2
3
)
2
×
√
5
3=4
√
5π
81
.
变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且
侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．
解：如右图所示，在三棱台 ABCA′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是
BC，B′C′的中心，则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高，
所以 S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S上
＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由 S侧＝S上＋S下，得 75DD′＝325，
所以 DD′＝(cm)．又∵O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)，
∴棱台的高 h＝O′O＝＝
＝4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋)
＝×(325＋×20×30)＝1 900(cm3)．
2.作差法
作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。
例2.如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BD 是它的对角线，弧 BD 的圆心是 A，半径为 AB，将正方形
ABCD 以AB 边为轴旋转一周，求图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积。
1
分析：图中 I旋转而成的几何体是圆锥，II 部分旋转而成的几何体是一个不规则几何体，它的体积无法直
接求得，但 I和II 旋转而成的几何体是一个半球，所以可用半球体积减圆锥体积求 II 部分旋转而成的几何
体的体积；III 部分旋转而成的几何体也不规则，也可通过上述方法求得。
解：图中 I和II 以AB 边为轴旋转而成的几何体是一个半球，正方形 ABCD（即 I、II、III）以 AB 为轴旋转
而成的几何体是一个圆柱。设图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积分别为 、 、 ，则
故图中 I、II、III 三部分旋转所得几何体的体积均为 。
变式. 如图(单位：cm)，求下图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面． S半球＝8π，S圆台侧＝
35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为 68π cm2.
由V圆台＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π，V半球＝π×23×＝π，
所以，所求几何体的体积为 V圆台－V半球＝52π－π＝π(cm3)．
3.割补法
割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的
体积。
例3.已知三棱锥 A-BCD 的表面积为 S,其内有半径为 r的内切球 O（球 O与三棱锥 A-BCD 的每个面都相切，
即球心 O到三棱锥 A-BCD 每个面的距离都为 r），求三棱锥 A-BCD 的体积。
解：连接 AO、BO、CO、DO，则三棱锥 A-BCD 被分割成为四个小三棱锥:O-ABC:、O-ABD、
:O-ACD、:O-BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为 O,高为 r,底面分别为⊿ABC、⊿ABD、⊿ACD、⊿BCD.
故有
。
点评：在此例中，若将三棱锥 A-BCD 改为其他棱锥或棱柱、棱台，只要存在内切球，那么就有与本例类
似的结论。
2
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