专题01 奇函数的最值性质（解析版）
高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论一：奇函数的最值性质
结
论
已知函数 f(x)是定义在区间 D上的奇函数,则对任意的 x∈D,都有 f(x)+f(-x)=0.特别
地,若奇函数 f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若 0∈D,则f(0)=0.
解
读
这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点
关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论.
典
例
已知函数
f x
和
g x
均为奇函数，
2h x af x bg x
在区间
0,
上有最大值 5，那
么
h x
在
,0
上的最小值为 （ ）
A. －5 B. －3 C. －1 D. 5
解
析
令 ，因为 为奇函数， 时， ，
，又 时， ， ，
，故选 C.
反
思
本题主要考查函数的奇偶性的应用，由于函数 和 g(x)均为奇函数，则
也为奇函数，构造函数 ,则 为奇函数，借助 在
上的最大值得出 的最大值，由于奇函数的图象关于原点对称，所以在关于原点对称的
单调区间上的最大值与最小值之和为零，得出 在 上的最小值，进而得出 在
上的最小值.
针对训练*举一反三
1．已知 在区间 上有最大值 5，那么 在 上的最小值为（ ）
1
A．5 B．1 C．3 D．5
【答案】B
【解析】因为 中 为奇函数关于 对称,
故 关于 对称,
又 在区间 上有最大值 5,故 在 上的最小值为
故选：B
2．已知函数 和 均为奇函数， 在区间 上有最大值 5，那
么 在 上的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 和 均为奇函数，∴ ，∴ 在 上的最小值是
，故选 B．
3．已知函数 和 均为奇函数, 在区间 上有最大值 ,那
么 在 上的最小值为( )
A．-5 B．-9 C．-7 D．-1
【答案】B
【解析】由 得 ，
令 ，
则 ，
2
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作者：envi
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