专题01 平行、垂直问题的证明（原卷版）

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第三篇 立体几何
专题 01 平行、垂直问题的证明
类型 对应典例
证明线线平行 典例 1
证明线面平行 典例 2
证明面面平行 典例 3
证明线线垂直 典例 4
证明线面垂直 典例 5
证明面面垂直 典例 6
典例 1．（2021·北京丰台区·高三二模）如图，在多面体 中，四边形 和 都是直角
梯形， ， ， ， ， ，
点M为棱 上一点，平面 与棱 交于点 N．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
1
（3）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
【思路引导】（1）依题意得 ，即可证明 平面 ；
（2）利用条件先证明 是平行四边形，即可证明 平面 ，根据线面平行性质可证到
；
（3）以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，分别求得平面 与平面 的法向量，
根据夹角的向量公式即可求解．
典例 2．（2021·四川绵阳市·高三三模）如图，四棱锥 中， ， ，
，平面 平面 ，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积.
【思路引导】（1）取 的中点 ，连接 ， ，再根据点 为 的中点，易证四边形 为
平行四边形，从而 ，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）易证 平面 ，进而得到平面 平面 ，再由 ，得到 平面
2
，由 求解.
典例 3．（2021·新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学高三其他模拟）在四棱锥 中 ，平面
平面 ， ， ，点 ， 分别在线段 ，
上，且 ， ， 为棱 上一点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【思路引导】（1）由面面平行的判定定理证明即可；
（2）由面面垂直的性质得出 平面 ，结合棱锥的体积公式即可得出答案.
3
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