专题01 平行、垂直问题的证明（解析版）
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第三篇 立体几何
专题 01 平行、垂直问题的证明
类型 对应典例
证明线线平行 典例 1
证明线面平行 典例 2
证明面面平行 典例 3
证明线线垂直 典例 4
证明线面垂直 典例 5
证明面面垂直 典例 6
典例 1．（2021·北京丰台区·高三二模）如图，在多面体 中，四边形 和 都是直角
梯形， ， ， ， ， ，
点M为棱 上一点，平面 与棱 交于点 N．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
1
（3）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
【思路引导】（1）依题意得 ，即可证明 平面 ；
（2）利用条件先证明 是平行四边形，即可证明 平面 ，根据线面平行性质可证到
；
（3）以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，分别求得平面 与平面 的法向量，
根据夹角的向量公式即可求解．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 是平行四边形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，
所以 ；
（3）以点 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：设 ，
则 ，
依题意有 ， ， ，
， ，则 ，
2
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 则 ，则 ，
因为 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
解得 ，所以 ，
故 ．
3
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作者：envi
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