专题01 平行、垂直问题的证明（第三篇）（解析版）

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第三篇 立体几何
专题 01 平行、垂直问题的证明
类型 对应典例
证明线线平行 典例 1
证明线面平行 典例 2
证明面面平行 典例 3
证明线线垂直 典例 4
证明线面垂直 典例 5
证明面面垂直 典例 6
【典例 1】【2020 届北京市通州区三模考试】
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为正方形，△ 为等边三
角形， 是 中点，平面 与棱 交于点 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（III）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，直接写出 的值.
【思路引导】
（Ⅰ）由 为正方形，可得 ．再由线面平行的判定可得 平面 .．再由面面平行
的性质可得 ；
1
（Ⅱ）由 为正方形，可得 ．结合面面垂直的性质可得 平面 ．从而得到
.．再由已知证得 ．由线面垂直的判定可得 平面 ；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知， ，利用等积法把 用 表示，则 的值可求．
解：
（I）证明：因为正方形 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
（II）证明：因为正方形 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
因为 为等边三角形， 是 中点，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
2
（III）解：由（Ⅰ）知，
则
．
【典例 2】【2020 届湖北省沙市中学期末考试】
在如图所示的几何体中，四边形 是菱形， 是矩形，平面 平面 ，
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的长；若不存在，
请说明理由．
【思路引导】
利用 与 交于 ，连接 ．证明 ，通过直线与平面平行的判定定理证明 平
面 ；
对于存在性问题，可先假设存在，即假设 在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大
小为 ．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．
解：
3
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