专题01 平面向量及其应用-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)

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专题 01 平面向量及其应用
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 ) .
(2)零向量：长度为
0
的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于 1
个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义)运算律
加法
求两个向量和的
运算
(1)交换律：
a＋b＝b ＋ a .
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
减法
减去一个向量相
当于加上这个向
量的相反向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数 λ与向量
a的积的运算
(1)|λa|＝| λ || a | ；
(2)当λ＞0时，λa的方向与 a的方
向相同；当 λ＜0时，λa的方向与
a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμ a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ；
λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b ＝ λ a .
4.平面向量的基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2.
1
其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
5.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
6.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝
√
x12+y12
(2)向量坐标的求法
① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⃗
AB
＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|
⃗
AB
|＝
√
(x2−x1)2+( y2−y1)2
.
7.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
8.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a和b，记
⃗
OA
＝a，
＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a与b
的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则 a与b的数量积(或内积)a·b＝| a || b |cos __θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影| b |cos __θ
的乘积.
9.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量 a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝
=
√
⃗
a⋅
⃗
a=
√
x12+y12
(3)夹角：cos θ＝
⃗
a⋅
⃗
b
|
⃗
a|⋅|
⃗
b|=x1x2+y1y2
√
x12+y12
⋅
√
x22+y22
(4)两非零向量 a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤
√
x12+y12
⋅
√
x22+y22
⋅¿ ¿
10.平面向量数量积的运算律
2
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
11.正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式
a
sin A=b
sin B=c
sin C
＝2R
a2＝b 2
＋ c 2
－ 2 bc cos __A；b2＝
c 2
＋ a 2
－ 2 ca cos __B；
c2＝a 2
＋ b 2
－ 2 ab cos __C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2 R sin __B，c＝2 R sin __C；
(2)sin A＝
a
2R
，sin B＝
b
2R
，sin C＝
c
2R
；
(3)a∶b∶c＝sin__A ∶ sin __B ∶ sin __C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝
b2+c2−a2
2bc
；
cos B＝
a2+c2−b2
2ac
；
cos C＝
b2+a2−c2
2ab
2.S△ABC＝
1
2
absin C＝
1
2
bcsin A＝
1
2
acsin B＝
abc
4R
＝
1
2
(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计
算R，r.
考点一　平面向量的概念
1．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高一月考）有下列命题：
① 若 ，则 ；
3
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