专题01 两个计数原理（解析版）

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专题 1 两个计数原理
类型一、加法原理
【例 1】高二年级一班有女生 人，男生 人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选
取代表的方法有几种．
【解析】 ．
【例 2】若 、 是正整数，且 ，则以 为坐标的点共有多少个？
【解析】 ．
【例 3】用 到 这 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A． B． C．D．
【解析】由题意知本题要分类来解，
当尾数为 2、4、6、8时，个位有 4种选法，
因百位不能为 0，所以百位有 8种，十位有 8种，共有
当尾数为 0时，百位有 9种选法，十位有 8种结果，
共有
根据分类计数原理知共有
故选： ．
【例 4】用数字 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有 种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有 种排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有 （个 ．
故选： ．
【例 5】用 这 个数字，可以组成____个大于 ，小于 的数字不重复的四位数．
【解析】分四类：①千位数字为 3,4 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 个；
②千位数字为 5时，百位数字为 0,1,2,3 之一时，有 个；③千位数字为 5时，百位数字是 4，十位
数字是 0,1 之一时，有 个；最后还有 5420 也满足题意.
所以，所求四位数共有 个.
1
故答案为 ．
类型二、乘法原理
【例 6】公园有 个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，
则进门的方法有 4种，出门的方法也有 4种，
则不同的走法有 种
【例 7】将 个不同的小球放入 个盒子中，则不同放法种数有_______．
【解析】根据题意，依次对 3个小球进行讨论：
第一个小球可以放入任意一个盒子，即有 4种不同的放法，
同理第二个小球也有 4种不同的放法，
第三个小球也有 4种不同的放法，
即每个小球都有 4种可能的放法，
根据分步计数原理知共有即 不同的放法，
故答案为：64．
【例 8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要
求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．
【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有 安
排方法，故不同的安排种法有 ，
故答案为 120．
【例 9】高二年级一班有女生 人，男生 人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调
查团，问选取代表的方法有几种．
【解析】
【例 10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，
可得共有不同的报名方法 种．
【例 11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
【解析】由题意，每项比赛的冠军都有 种可能，
因为有 3项体育比赛，所以冠军获奖者共有 种可能
【例 12】用 ， ， ， ， ， 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
2
且 和 相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
【解析】解析：可分三步来做这件事：
第一步：先将 3、5排列，共有 种排法；
第二步：再将 4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有 种排法；
第三步：将 1、2放到 3、5、4、6形成的空中，共有 种排法．
由分步乘法计数原理得共有 （种 ．
答案为：40
【例 13】从集合 中任选两个元素作为椭圆方程 中的 和 ，则能组成落在矩
形区域 且 内的椭圆个数为（　　）
A． B． C．D．
【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有， ，所以有两类，
一类是 ， 从 ，2，3， ，7， 任选两个不同数字，方法有
令一类是 从 9，10，两个数字中选一个， 从 ，2，3， ，7， 中选一个
方法是：
所以满足题意的椭圆个数是：
故选： ．
【例 14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么
函数解析式为 ，值域为 的“同族函数”共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有 、1中的一个和 、3中的一个，
满足条件的定义有： ， 、 ， 、 ， 、 ， 、 ，1，、，1， 、 ，
， 、 ， ， 、 ，1， ， ，共 9个．
故选： ．
【例 15】某银行储蓄卡的密码是一个 位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数
字（如 ）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选 ，并且千位、百位上都能取 ．这样设
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