专题01 利用样本估计总体与概率相结合（第四篇）（原卷版）

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第四篇概率与统计

专题 01 利用样本估计总体与概率相结合

类型对应典例

以离散型数据为背景考查数据统计的相关概念典例 1

以频率分布直方图为背景考查统计的相关概念典例 2

以茎叶图为背景考查统计的相关概念典例 3

以频率分布表为背景考查统计的相关概念典例 4

以频率分布直方图为背景考查统计和正态分布综合典例 5

以频率分布直方图为背景考查概率期望等综合问题典例 6

【典例 1】【2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷】

某车间名工人年龄数据如下表：

年龄（岁）工人数（人）

合计

（1）求这名工人年龄的众数与极差；

（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；

（3）求这名工人年龄的方差.

【思路引导】：（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；

（2）根据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这名工人年龄的茎叶图；

（3）根据茎叶图所反映的信息，先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这名工人年龄的方差.

【典例 2】【2019 年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标Ⅲ)】

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成两组，每组

100 只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓

度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下

直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 ”，根据直方图得到的估计值为 .

（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【思路引导】

(1)由及频率和为 1可解得和的值；

(2)根据公式求平均数.

【典例 3】【2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷】

某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门的评分（评

分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于 90 的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．

【思路引导】（1）50 名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第 25，26 位的平均数即为甲部门评分的

中位数．同理可得乙部门评分的中位数．

（2）甲部门的评分高于 90 的共有 5个，所以所求概率为；乙部门的评分高于 90 的共 8个，所以所求

概率为．

【典例 4】【2020 届广东省中山市高三上学期期末数学】

某种零件的质量指标值为整数，指标值为 8时称为合格品，指标值为 7或者 9时称为准合格品，指标值为 6

或10 时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的 100

个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；

质量指标值 6 7 8 9 10

零件个数 6 18 60 12 4

使用该机器制造的一个零件成本为 5元，合格品可以以每个元的价格出售给批发商，准合格品与废品无

法岀售.

（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；

（2）若该单位接到一张订单，需要该零件 2100 个，为使此次交易获利达到1400 元，估计的最小值；

（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费 2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情

况：①质量指标值增加 1，②质量指标值不变，③质量指标值减少 1.已知每个零件最多可被加工一次，且

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