专题01 空间直角坐标系（重难点突破）原卷版2021年春季高二数学辅导讲义(人教A版）

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专题 01 空间直角坐标系

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重难点突破

知识点一空间向量的概念及运算

1、空间向量的概念

(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.

空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是 A，终点是 B，则 a也可记作AB，

其模记为__________.

(2)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为 0的向量叫_______，记为 0

单位向量 ______的向量叫单位向量

相反向量

与向量 a长度_____而方向_____的向量，称为 a的相反

向量，记为－a

相等向量

方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且__

___的有向线段表示同一向量或相等向量

2、空间向量的加减运算及运算律

下面给出了两个空间向量 a、b，作出 b＋a，b－a.

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB＝OA＋AB＝a＋b

CA＝OA－OC＝a－b

OB＝OA＋AB＝OA＋OC＝a＋b

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

3、空间向量的数乘运算

实数 λ和空间向量 a的乘积 λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数 λ与空间向量 a的乘积 λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作 λa，其长度

和方向规定如下：

①|λa|＝____.

②当λ>0 时，λa与向量 a方向相同；当 λ<0 时，λa与向量 a方向；当 λ＝0时，λa＝0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝______； ② λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).

4、共线向量与共面向量

回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.

定义平行于同一个平面的向量

三个向量共面的充要条

件

向量 p与不共线向量 a，b共面的充要条件是存在______

的有序实数对(x，y)使__________

点P位于平

面ABC 内

的充要条件

存在有序实数对(x，y)，使AP＝

___________

对空间任一点 O，有OP＝OA＋

__________

例1．（2020·江西省高二期中）在四面体中，点在上，且，为中点，则

等于（）

A．B．

C．D．

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