专题01 绝对值-走进新高一之2021年暑假初升高数学完美衔接课（解析版）

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专题 01：绝对值

1、绝对值的定义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于 2，记作|+2|

=2；-3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3．

① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0．

即对于任何有理数 a都有：

② 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越

大；离原点的距离越近，绝对值越小．

③ 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2、绝对值的性质

①0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

② 互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等.

③ 绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0．

3、数轴上两点之间的距离

若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为 x1

、

，

则A、B两点之间的距离为 .

4、含绝对值的方程与函数

① 含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；

② 绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.

例1、利用绝对值的性质化简

如果 a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【解答】C

【解析】由已知可得，不妨设，

∵，∴a－c与b－c互为相反数，即 a－c＝－（b－c），a＋b＝2c，

又∵ ，∴ ，

∵，∴b－c与d－b相等，即 b－c＝d－b，2b＝c＋d，

∵，∴ ，∴ ，∴ ，

同理，若设，可得，∴C选项正确.

例2、化简求最值

已知实数 x、y、z满足，则代数式

的最大值是 .

【解答】24

【解析】∵当时，，

当时，，

故的最小值为 4，

同理可得，当时，最小值为 3；

当时，最小值为 9，则 4×3×9＝108，

故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为 .

例3、绝对值方程

解方程：

【解答】

【解析】计算步骤如下：

∴.

例4、绝对值函数

作出函数的图像.

【解答】见解析

【解析】由题意可得，函数图像如图所示：

巩固练习

一．选择题

1．把有理数 a代入|a+4| 10﹣ 得到 a1，称为第一次操作，再将 a1作为 a的值代入得到 a2，称为第二次操作

…，若 a＝23，经过第 2020 次操作后得到的是（　　）

A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11

【解答】A

【解析】第 1次操作，a1＝|23+4| 10﹣ ＝17；

第2次操作，a2＝|17+4| 10﹣ ＝11；

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