专题01 几何动点函数图象分析（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 17 4 237.93KB 9 页 3知币
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专题一　几何动点函数图象分析
【专题解读】几何动点函数图像问题=常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及
四种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；
③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象．题目难度中等，属于中考
热点题型．
类型一　一个动点与图形线段长、面积
（2020•佛山模拟）如图，△ABC 为等边三角形，点 P从点 A出发沿 A→B→C路径匀
速运动到点 C，到达点 C时停止运动，过点 P作PQ⊥AC 于点 Q．若△APQ 的面积为
y，AQ 的长为 x，则下列能反映 y与x之间的大致图象是（　　）
A．B．
C．D．
【思路点拨】分两段来分析：①点 P从点 A出发运动到点 B之前，写出此段的函数解析式，
则可排除 A和B；②设△ABC 的边长为 m，则当 x
＞m
2
时，P点过了 B点向 C点运动，作
出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【自主解答】∵△ABC 为等边三角形，PQ⊥AC 于点 Q．AQ＝x，
PQ＝AQ•tan60°
¿
√
3
x
∴点 P从点 A出发运动到点 B之前，如图所示：
1
y
¿1
2
x ×
√
3x=
√
3
2
x2，∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，∴选项 A、B不
符合题意，排除 A和B；设△ABC 的边长为 m，则当 x
＞m
2
时，P点过了 B点向 C点运动，
作出图形如下：
则CQ＝m﹣x，PQ＝CQ•tan60°
¿
√
3
（m﹣x），∴y
¿1
2
x ×
√
3
（m﹣x）
¿−
√
3
2
x2
mx，
∴此时函数图象为开口向下的抛物线，∵选项 C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，
选项 D为开口向下的抛物线，∴D正确．故选：D．
【方法总结】①根据运动判断图象，关
键是判断运动变化的节点，运动变化的
节点往往就是函数图象分段的节点.找到
节点后分段 研 究 运动过程，列 出 关 系
式，进而判断图象.② 此类题通常为选择
题，因此也可以运用排除法，对关键点
进行判断，注意排除错误选项.
1．（2020•南海区期末）如图，已知 A、B是反比例函数图象上的点，BC∥x轴，交 y轴于
点C，连接 OA，动点 P从坐标标原点 O出发，沿 O﹣A﹣B﹣C匀速运动，终点为 C．过运
动路线上任意一点 P，作 PM⊥x轴于 M，PN⊥y轴于 N，设四边形 OMPN 的面积为 S，P
点运动的时间为 t，则 S关于 t的函数图象大致是（　　）
2
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】（1）当点 P在AO 上运动时，
设反比例函数的表达式为：y
¿k
x
，
设点 A（m，n），则 mn＝k，设∠AOM＝∠α，
则tanα
¿n
m
，则 sinα
¿n
√
m2+n2
，cosα
¿m
√
m2+n2
，
则S＝PM×PN＝t2×sinαcosα
¿k
O A2
t2，其中
k
A O2
常数，故函数的表达式为二次函数；
（2）当点 P在AB 段时，S＝k为常数；
（3）当点 P在BC 上时，设点 P运动的总时间为 T，则在 BC 上运动的时间为 T﹣t，
S＝OC×（T﹣t）为一次函数；故选：A．
2．（2020•龙岗区模拟）如图 1，在矩形 MNPQ 中，动点 R从点 N出发，沿 N→P→Q→M
方向运动至点 M处停止．设点 R运动的路程为 x，图中阴影部分△MNR 的面积为 y，如果 y
关于 x的函数图象如图 2所示，则矩形 PQMN 的面积为（　　）
A．16 B．20 C．36 D．45
【答案】B
【解析】由图 2可知：当 x＝4时，点 R与点 P重合，PN＝4，当 x＝9时，点 R与点 Q重合，
3
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