专题01 等差与等比数列的基本量的计算（原卷版）

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第二篇 数列与不等式
专题 01 等差与等比数列的基本量的计算
类型 对应典例
利用基本量思想求解等差等比 典例 1
等差等比中项的应用 典例 2
等差等比数列求和中带绝对值问题 典例 3
等差等比数列的和的最值问题 典例 4
等差等比数列之间的综合问题 典例 5
等差等比数列的定义应用 典例 6
【典例 1】【2021·云南昆明市·高三二模】
已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【思路引导】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，且 ，利用“ ”求解．
（2）由（1）易得 ，从而 ，再利用裂项相
消法求解.
【典例 2】【2021·江苏苏州市·高三月考】
已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数， ， 是 与 的等差中项．记正项数列{bn}前n
1
项之积为 Tn，b1=1， ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）证明： ．
【思路引导】（1）由等比数列的基本量法求得通项公式 ，由已知先求得 ， 时，利用
求得 ，验证 也适用；
（2）把项 拆成两项的差，用裂项相消法求得和 ，然后证明新数
列是递增数列，首项最小为 2，即证结论成立．
【典例 3】【2021·广东省广州市部分学校第二次调研考试】
已知正项等比数列 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【思路引导】（1）根据等比数列的性质求出公比的值，即可求得数列 的通项；（2）对项数 进行分
类，分别讨论 和 两种情况，分别求和即可.
2
【典例 4】【2021·湖北武汉市·高三第一次模拟】
（）已知公比不为 1的等比数列 满足 ，且 ， ， 构成等差数列.
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）记 为 的前 项和，求使 成立的最大正整数 .
【思路引导】（Ⅰ）依题意转为等比数列基本量计算即可求得首项与公比，则通项可得；
（Ⅱ）利用公式求和并结合不等式解得 范围即可得最值.
【典例 5】【2021·山东泰安市·高三期末】
已知公比大于 1的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项
和 ．
【思路引导】（1）由题意可得 ，求出 和 ，从而可求出数列 的通项公式；
（2）由题意可得 ，然后利用错位相减法可求得数列 的前 项和
3
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