专题01 等差与等比数列的基本量的计算（解析版）

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第二篇 数列与不等式
专题 01 等差与等比数列的基本量的计算
类型 对应典例
利用基本量思想求解等差等比 典例 1
等差等比中项的应用 典例 2
等差等比数列求和中带绝对值问题 典例 3
等差等比数列的和的最值问题 典例 4
等差等比数列之间的综合问题 典例 5
等差等比数列的定义应用 典例 6
【典例 1】【2021·云南昆明市·高三二模】
已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【思路引导】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，且 ，利用“ ”求解．
（2）由（1）易得 ，从而 ，再利用裂项相
消法求解.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，且 ．
所以 ，
1
解得 ，
所以数列 的通项公式 ．
（2） ，
所以 ，
所以
．
【典例 2】【2021·江苏苏州市·高三月考】
已知数列{an}为等比数列，且各项均为正数， ， 是 与 的等差中项．记正项数列{bn}前n
项之积为 Tn，b1=1， ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）证明： ．
【思路引导】（1）由等比数列的基本量法求得通项公式 ，由已知先求得 ， 时，利用
求得 ，验证 也适用；
（2）把项 拆成两项的差，用裂项相消法求得和 ，然后证明新数
列是递增数列，首项最小为 2，即证结论成立．
2
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为 q，由各项为正，故 q>0．
由于 是 与 的等差中项，可得 ，
又a1=2，所以 ，因此 ，
从而 ，即 an=2n
由bn>0，b1=1， ．
当 时， ，得 ，故 ，
b1=1，b2=2 均符合上式，所以
（2） ，．
因此有：
．
要证不等式成立，即证
由 可得数列 递增，．
所以 ．
由此 ．
【典例 3】【2021·广东省广州市部分学校第二次调研考试】
已知正项等比数列 ， ， .
3
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