专题01 （直线与圆的位置关系及判定)（解析版）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

3.0 envi 2025-02-13 20 4 177.04KB 24 页 3知币
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专题一 直线与圆的位置关系及判断
一、单项选择题
1. 已知圆
x2+y2−6x=0
，过点
(1,2)
的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
()
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题．
由相交弦长
¿AB∨¿
和圆的半径 r及圆心 C到过
D(1,2)
的直线的距离 d之间的勾股关系，求出弦长的最小
值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与 CD 垂直时 d最大，求出 d的最大值，进而求出弦长的最
小值．
【解答】
解：由圆的方程可得圆心坐标
C(3,0)
，半径
r=3
，且点 D在圆内，
设圆心到直线的距离为 d，则过
的直线与圆的相交弦长
¿AB∨¿2
√
r2− d2
，
当d最大时
¿AB∨¿
最小，当直线与 CD 所在的直线垂直时 d最大，这时
d=¿CD ∨¿
√
¿¿
，
所以最小的弦长
¿AB∨¿2
√
32−¿¿
，
高考对本节内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线
与圆的位置关系特别是弦长、相切问题，此类问题难度属于中等或偏上，一般以填空
题的形式出现 .解决此类问题既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方
程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题的思想．
自我检测
1
故选 B．
2. 若过点
(2,1)
的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
2x − y −3=0
的距离为
¿
¿
A.
√
5
5
B.
2
√
5
5
C.
3
√
5
5
D.
4
√
5
5
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题．
由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：设圆心为
(
a , a
)
，则半径为 a，圆过点
(
2,1
)
，
则
(
2−a
)
2+
(
1− a
)
2=a2
，解得
a=1
或
a=5
，
所以圆心坐标为
(
1,1
)
或
(
5,5
)
，圆心到直线的距离都是
d=2
√
5
5.
故选 B．
3. 过点
P(−
√
3, −1)
的直线 l与圆
x2+y2=1
有公共点，则直线 l的倾斜角的取值范围是
()
A.
(
0,π
6
]
B.
(
0,π
3
]
C.
[
0,π
6
]
D.
[
0,π
3
]
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，以及斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
2
由题意可得点 P在圆
x2+y2=1
的外部，要求的直线的斜率一定存在，设为 k，求出直线方程，根据直线和
圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径，求出 k的取值范围，进而求出倾斜角的取值范围．
【解答】
解：由题意，
可得点
P(−
√
3, −1)
在圆
x2+y2=1
的外部，
故要求的直线的斜率一定存在，设为 k，
则直线方程为
y+1=k(x+
√
3)
，
即
kx − y +
√
3k −1=0
，
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径，
可得
|
0−0+
√
3k − 1
|
√
k2+1≤1
，
即
3k2−2
√
3k+1≤ k2+1
，
解得
0≤ k ≤
√
3
，
故直线的倾斜角的取值范围是
[
0,π
3
]
．
故选 D．
3
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