专题01 (有关平面向量的求值运算问题) (教案)-备战2021年高考数学中平面向量知识点提优（江苏专用）

3.0 envi 2025-02-13 18 4 143.2KB 14 页 3知币
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专题六 有关平面向量的求值运算问题
例题 1.（2020 江苏，13 题）在
△ABC
中，
AB=4
，
AC=3
，
∠BAC =90 °
，D在边 BC 上，延长 AD 到
P，使得
AP=9.
若
PA
⃗
=m PB
⃗
+( 3
2− m)PC
⃗
¿
为常数
¿
，则 CD 的长度是______．
【分析】
考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．
以A为坐标原点，分别以 AB，AC 所在直线为 x，y轴建立平面直角坐标系，求得 B与C的坐标，再把
的坐标用 m表示．由
AP=9
列式求得 m值，然后分类求得 D的坐标，则 CD 的长度可求．
思维升华
(1)平面向量的线性运算主要指的是加法、减法、数乘以及三点共线的转化和平面向量基本定理．
(2)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用.
(3)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.
高考对平面向量的考查侧重基本概念与基本计算的考查 .重点是向量的数量积运算，与
平面向量共线有关的求值问题是平面向量中的热点，常以中档小题出现，要关注解题
过程中解析法和等价转化思想的运用，关键是向量关系数量化．
1. 直击高
考
1
基础知识
知识点一：
1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的.
3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共向量,规定:0 与任一向量共线.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量
6.相反向量:长度相等且方向相反的向量知识点二:平面向量的线性运算
知识点二：
平面向量的线性运算
向量运算 定义 法则 运算律
加法
求 和 的和的运算
交换律：
结合律：
减法
求 和 的相反向量
和的运算
【答案】
2
0或
18
5
【解答】
解：如图，以 A为坐标原点，分别以 AB，AC 所在直线为 x，y轴建立平面直角坐标系，
则
B(4,0)
，
C(0,3)
，
由
PA
⃗
=m PB
⃗
+( 3
2− m)PC
⃗
，
得
PA
⃗
=m(PA
⃗
+AB
⃗
)+( 3
2−m)(PA
⃗
+AC
⃗
)
，
整理得：
PA
⃗
=−2m AB
⃗
+(2m− 3)AC
⃗
¿−2m(4,0)+(2m−3)(0,3)=(−8m , 6m− 9)
．
由
AP=9
，得
64 m2+¿
，
解得
m=27
25
或
m=0
．
当
m=0
时，
PA
⃗
=(0, − 9)
，此时 C与D重合，
¿CD∨¿0
；
当
m=27
25
时，直线 PA 的方程为
y=9−6m
8mx
，
3
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