专练09（解答题-压轴，20题）高二数学下学期期末考点必杀黄金200题（人教A版2019）（解析版）

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专练 09（解答题-压轴，20 题）

1．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四

名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)

（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？

（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？

（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安

排方法？

【答案】(1) 48 (2) 240 (3) 36

【分析】

(1)先排教授，再排学生由分步乘法计数原理可得答案.

（2）将 2名教授看作是一个整体，和 4名实习学生一起排列，再将两名教授进行排列，由分步乘法计数

原理可得答案.

（3）把 4名实习学生按 1 , 1 , 2 分成 3组, 再将三组分别分配到三所中学任教可得答案.

【详解】

(1 )先排 2名教授,有(种)不同的排法,

再排 4名实习学生,有(种)不同的排法,

故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同的排法

(2) 将2名教授看作是一个整体，和 4名实习学生一起排列有 (种)不同的排法

又2名教授,有(种)不同的排法,

所以共有 (种)不同的排法

(3 )把4名实习学生按 1 , 1 , 2 分成 3组,有种分组方法.

再将三组分别分配到三所中学任教故共有 (种)不同的排法.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

2．《健康中国行动(2019—2030 年)》包括 15 个专项行动，其中全民健身行动提出鼓励公众每周进行 3次

以上每次､30 分钟以上中等强度运动，或者累计 150 分钟中等强度或 75 分钟高强度身体活动，日常生活中

要尽量多动，达到每天 6千步~10 千步的身体活动量，某高校从该校教职工中随机抽取了若干名，统计他

们的日均步行数(均在 2千步~14 千步之间)，得到的数据如下表：

日均步行数/千步

人数 12 24 24 9

频率 0.08 0.16 0.4 0.16 0.06

（1）求，，的值；

（2）“每天运动一小时，健康工作五十年”，学校为了鼓励教职工积极参与锻炼，决定对日均步行数不

低于千步的教职工进行奖励，为了使全校 30%的教职工得到奖励，试估计的值；

（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，从该校得到奖励的教职工中随机抽取 3人，设这 3人中日

均步行数不低于 10 千步的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（1），，；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望： .

【分析】

（1）根据频率分布表可直接求出，，；

（2）先求出日均步行数在内的频率和日均步行数在内的频率，进而根据题意列方程求解；

（3）先求出日均步行数不低于 10 千步的教职工在得到奖励的教职工中所占的比例，得到，

然后求的分布列和数学期望即可.

【详解】

解：（1）由题可得，，解得 .

易知，∴.

（2）由题意知，日均步行数在内的频率为，

日均步行数在内的频率为，

则，

解得 .

所以当时，全校 30%的教职工能够得到奖励.

（3）由题意知该校得到奖励的教职工在全校教职工中所占的比例为 0.3，所以日均步行数不低于 10 千步的

教职工在得到奖励的教职工中所占的比例为，

所以，，，

所以的分布列为

0123

数学期望 .

【点睛】

思路点睛：频率分布表中利用比例相等问题，总体频率为 1可求得参数值，求随机变量的分布列时可先确

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