专练08（解答题-提升，20题）高一数学上学期期末考点必杀黄金200题（人教版2019）（解析版）
专练 08 解答题-提升
1．（2020·赣州市赣县第三中学高一期中）设集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 ；
（2）求出集合 ，利用条件 可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，根据指数函数的运算性质，可得 ，
由对数函数的运算性质，可得 ，
所以 ；
（2）由题意，可得集合 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查了集合的运算及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的单调性，正确求解集合 、
1
是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知 ，
计算：（1） ； （2）.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）分子分母同除以 ，得到 ，代入 的值即可；
（2） ，分子分母同除以 ，得到 ，代入
的值即可.
【详解】
（1）.
（2）.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到 ， 的齐次式的计算，考查学生转化与化归的
思想，是一道容易题.
2
3．（2020·广东高一期末）已知函数 ，且 ．
（1）求 的解析式； （2）证明 在区间 上单调递减．
【答案】（1） （ ） （2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件列方程组，解得 ， ，即得结果；
（2）根据单调性定义，作差变形，根据差的符号确定单调性.
【详解】
（1）由已知有 解得 ， ∴ （ ）
（2）证明：设任意 ，且 ，则
又 ，且 所以 ， ，
∴，即 ，所以 在 上单调递减．
【点睛】
本题考查函数解析式以及函数单调性定义，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
3
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