专练08（解答题-提升，20题）高二数学下学期期末考点必杀黄金200题（人教A版2019）（原卷版）

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专练 08（解答题-提升，20 题）

1．4位同学报名参加 2022 年杭州亚运会 6个不同的项目（记为，，，，，）的志愿者活动．

假设每位同学恰报 1个项目，且报名各项目是等可能的．

（1）求 4位同学报了 4个不同的项目的概率；

（2）求 1位同学报了项目，剩余 3位同学都报了项目的概率．

2．已知展开式的二项式系数和为 512，且

（1）求的值；

（2）求被 6整除的余数.

3．滑雪是冰雪运动中深受人们喜爱的运动项目，为了了解某市，两个专业滑雪队的技术水平，从这

两个队各随机抽取了名队员进行比赛（百分制），其得分如图所示茎叶图．

（1）通过茎叶图比较，两队比赛得分的平均值，的大小及分散程度（不要求计算，给出结论

即可）；

（2）规定得分在，认定该队员滑雪技术为级，在认定该队员滑雪技术为级，

在认定该队员滑雪技术为级．

①现从得分在的样本队员中，按照队与队两大类，用分层抽样的方法随机抽取人进行问卷

调查，求这名队员中恰含、两队所有滑雪技术为级的队员的概率；

②从样本中任取名队员，在认定这两名队员滑雪技术为级情况下，求这名队员来自同一滑雪队

的概率．

4．冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征

(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型

冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳歌、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，

严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．

经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由 4位

该病毒的感染者组成．其中 2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗

病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．

（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；

（2）观察 3个试用组，用表示这 3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．

5．扶贫期间，扶贫工作组从地到地修建了公路，脱贫后，为了了解地到地公路的交通通行状况，

工作组调查了从地到地行经该公路的各种类别的机动车共 4000 辆，汇总行车速度后作出如图所示的

频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这 4000 辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中

点值代替）.

（2）由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，

分别取调查样本中 4000 辆机动车的平均车速和车速的方差（）.

（ⅰ）请估计该公路上 10000 辆机动车中车速不低于 84.8 千米/时的车辆数（精确到个位）；

（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取 10 辆，设车速低于 84.8 千米/时的车辆数为，求的数学

期望.

附：若，则，，

，取 .

6．改革开放40 年间，中国共减少贫困人口8.5 亿多人，对全球减贫贡献率超 70%，创造了世界减贫史上

的“中国奇迹”.某中学“数学探究”小组为了解某地区脱贫成效，从 1500 户居民(其中平原地区 1050 户，

山区 450 户)中，采用分层抽样的方法，收集了150 户家庭的2019 年人均纯收入(单位：万元)作为样本数据.

（1）应收集山区家庭的样本数据多少户？

（2）根据这150 个样本数据，得到该地区 2019 年家庭人均纯收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样

本数据分频率组距组区间为，，，，， .若该地区家庭人均

纯收入在 8000 元以上，称为“小康之家”，如果将频率视为概率，估计该地区 2019 年“小康家庭收入(万

元)之家”的概率；

（3）样本数据中，有 5户山区家庭的人均纯收入超过 2万元，请完成“2019 年家庭人均纯收入与地区类

型”的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区 2019 年家庭年人均纯收入与地区类型有关”？

超过 2万元不超过 2万元总计

平原地区

山区 5

总计

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