易错点25 空间角与空间距离-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 14 4 378.53KB 17 页 3知币
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易错点 25 空间角与空间距离
一、单选题
1. 如图，
PA ⊥
平面 ABC，
∠ACB=90 °
且
PA=AC=BC=a
，则异面直线 PB 与AC 所成角的正切值
为
A.
√
2
B.
√
3
C.
√
2
2
D. 1
【答案】A
【解析】解：观察图形，可以将该图看成是正方体的一部分，
因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值，将此多面体补成正方体
DBCA − D1B1C1P¿
如图所示
，
则PB 与AC 所成的角的大小即此正方体的体对角线 PB 与棱 BD 所成角的大小．
故在
Rt △PDB
中，
tan∠DBP=PD
DB =
√
2a
a=
√
2.
故选：A
2. 三棱柱
ABC − A1B1C1
中 ，
AB=3
，
AC=1
，
C C1=2
，
∠A1AB=∠A1AC=60 °
，
∠BAC =90 °.
则异面直线
A1C
与
BC1
所成角的余弦值为
A. 0B.
1
5
C.
1
3
D.
2
5
【答案】A
【解析】解：
A1C
⃗
=AC
⃗
− A A1
⃗
，
BC1
⃗
=BC
⃗
+C C1
⃗
=AC
⃗
− AB
⃗
+C C1
⃗
A1C
⃗
⋅BC1
⃗
=(AC
⃗
− A A1
⃗
)⋅(AC
⃗
− AB
⃗
+C C1
⃗
)
¿(AC
⃗
− A A1
⃗
)⋅(AC
⃗
− AB
⃗
+A A1
⃗
)
¿AC
⃗ 2− AC
⃗
⋅AB
⃗
+AC
⃗
⋅A A1
⃗
− A A1
⃗
⋅AC
⃗
+A A1
⃗
⋅AB
⃗
− A A1
⃗ 2
¿12−0+1×2×cos 60 ° −1×2×cos 60 °+3×2×cos 60° −22
¿1+3−4
¿0
，
∴A1C
⃗
⊥BC1
⃗
，
即异面直线
A1C
与
BC1
所成角为
90 °
，
∴cos 90 °=0
，
故选 A．
3. 在正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，异面直线 AC 与
B1D1
所成的角是
A.
30∘
B.
45∘
C.
60∘
D.
90∘
【答案】D
【解析】解：在正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
B1D1/¿BD
，
AC ⊥BD
，
∴AC ⊥B1D1
，
∴
异面直线
B1D1
与AC 所成的角为
90 °
，
故选 D．
4. 在四面体
P − ABC
中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面 ABC 内一点，M 到三个面 PAB ，PBC
，PCA 的距离分别是 2，3，6，则 M 到P 的距离是
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】解：由于 PA，PB，PC 两两垂直，M是面 ABC 内一点，
作出长方体如图，
M到三个面 PAB，PBC，PCA 的距离分别是 2，3，6，则 M到P的距离，
就是长方体的体对角线的长：
√
22+32+62=7
故选 A．
5. 在空间中，异面直线
a , b
所成的夹角为
α
，且
sin α=1
2
，则
cos α=¿
A.
√
3
2
B.
−
√
3
2
C.
√
3
2
或
−
√
3
2
D.
−1
2
【答案】A
【解析】解：
∵
异面直线
a , b
所成的夹角为
α
∴0<α⩽π
2
；
∵sin α=1
2
，
∴cos α=
√
1−sin2α=
√
3
2
．
故选 A．
6. 在底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱
AB
❑
C − A1B1C1
中，若
AB=
√
2B B1
，则
A B1
与
C1B
所成角的大小为
A.
30 °
B.
45 °
C.
60 °
D.
90 °
【答案】D
【解析】解：如图，建立空间直角坐标系，
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