易错点10 指数函数、对数函数与幂函数模型-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 13 4 90.85KB 11 页 3知币
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易错点 10 指数函数、对数函数与幂函数模型
一、单选题
1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2020 年全年投入研发资金 130 万元，在
此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长
12 %
，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万
元的年份是（ ）
¿
参考数据：
lg1.12 ≈0.05 , lg1.3 ≈0.11, lg 2≈0.30 ¿
A. 2023 年B. 2024 年C. 2025 年D. 2026 年
【答案】B
【解析】解：设 n年后，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元．
由题意，知
130 ¿
，
得
lg¿
，
∴lg 1.3+2+nlg 1.12>lg 2+2
，
即
0.11+0.05 n>0.3
，
．
又
n∈N¿
，
∴nmin=4
，故该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2024 年．
故选 B．
2. 茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用
85 ℃
的水泡制，再
等到茶水温度降至
60 ℃
时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究
人员每隔
1min
测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，
下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 y随时间 x变化的规律（ ）
A.
y=m x2+n(m>0)
B.
y=mx+n(m>0)
1
C.
y=max+n¿
且
a ≠ 1¿
D.
y=mlo gax+n¿
且
a ≠ 1¿
【答案】C
【解析】解：选项 A中，函数的图象以 y轴为对称轴，不符散点图；
选项 B中，函数的图象是直线，不符散点图；
选项 D中，
x>0
，与 y轴无限接近，与散点图不符．
故选 C．
3. 英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是
θ1℃
，
环境温度是
θ0℃
，那么经过 t小时后物体的温度
θ℃
将满足
θ=θ0+(θ1−θ0)·e−kt .
通过实验观察发现，
在
20 ℃
的室温下，一块从冰箱中取出的
−20 ℃
的冻肉经过
0.5
小时后温度升至
0℃
，在相同的环境
下利用牛顿冷却模型计算：温度为
100 ℃
的水，冷却到
40 ℃
，大约经过的时间为（ ）
¿
忽略体
积等其它因素的影响
¿
A. 1小时 B.
1.5
小时 C. 2小时 D.
2.5
小时
【答案】A
【解析】解：依题意，可令
θ0=20 ,t=0.5 ,θ1=−20 , θ=0
代入式子得：
θ=θ0+(θ1−θ0)·e−kt .
，解得
k=ln 4
，
∴θ=θ0+(θ0−θ1)· e−ln 4 ·t
又把
θ0=20 ,θ1=100 , θ=40
代入式子得
40=20+80 · e−ln 4 · t ⇒t=1
，
故选 A．
4. 中国的 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
C=Wlog2(1+S
N).
它表示：
在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C取决于信道带宽 W，信道内信号的平均功率 S，信道内
部的高斯噪声功率 N的大小，其中
S
N
叫做信噪比
.
当信噪比比较大时，公式中真数中的 1可以忽略不
计
.
按照香农公式，若不改变带宽 W，而将信噪比
S
N
从1000 提升至 4000，则 C大约增加了（ ）
附：
lg2≈0.3010
A.
10 %
B.
20 %
C.
50 %
D.
100 %
2
【答案】B
【解析】解：由题意，当
S
N=1000
时，
C=Wlog2(1+1000)=Wlog21001
，
当
S
N=4000
时，
C=Wlog2(1+4000)=Wlog24001
，
则C增加的百分比为：
Wlog24001−Wlog21001
Wlog21001 ×100 ％=
log2
4001
1001
log21001 ×100 ％≈log24
log21024 ×100％=20 ％
．
故选 B．
5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条
线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来
的一条线段就变成了 4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复
上述步骤，得到 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，
…
，如此进行“n次构造”，就
可以得到一条科赫曲线
.
若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000 倍，则至少需要
通过构造的次数是（ ）
.¿
取
lg3≈0.4771
，
lg2≈0.3010 ¿
A. 16 B. 17 C. 24 D. 25
【答案】D
【解析】解：由题意，记初始线段长度为
a
(
a>0
)
， 一次构造”后的折线的长度为
4a
3
，
二次构造”后的折线的长度为
¿
，
⋯
，
次构造 后的折线的长度为
¿
，
则要使得到的折线的长度达到原来的1000 倍，应满足
(
4
3
)
n
a ≥1000 a
，
3
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