易错点8 函数与方程的综合应用-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破（解析版）

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易错点 8 函数与方程的综合应用
一、单选题
1. 已知函数
f(x)=sin(x−π
6)
，若方程
f(x)= 4
5
的解为
x1
，
x2(0<x1<x2<π)
，则
sin(x1+x2)=¿
（
）
A.
−
√
3
2
B.
√
3
2
C.
D.
−1
2
【答案】A
【解析】解：因为
0<x<π
，所以
x−π
6∈(−π
6,5π
6)
，
又因为
x1
，
x2
是
sin(x−π
6)= 4
5
的两根，
，
所以 ，
故选 A．
2. 已知偶函数
f(x)
满足
f(4+x)=f(4−x)
，且当
x∈¿
时，
f(x)= ln(2x)
x
，关于 x的不等式
f2(x)+af (x)>0
在
[−200,200]
上有且只有 200 个整数解，则实数 a的取值范围是（ ）
A.
¿
B.
(−ln 2 ,−1
3ln 6)
C.
¿
D.
(−1
3ln 6 ,ln 2)
【答案】C
【解析】解：当
0<x ≤ 4
时，
f ' (x)=1−ln 2 x
x2
，
令
f ' (x)=0
得
x=e
2
，
∴f(x)
在
(0,e
2)
上单调递增，在
(e
2,4)
上单调递减，
∵f(x)
是偶函数，
1
∴f(x+4)=f(4−x)=f(x−4)
，
∴f(x)
的周期为 8，
作出
f(x)
一个周期内的函数图象如图所示：
∵f(x)
是偶函数，且不等式
f2(x)+af (x)>0
在
[−200,200]
上有且只有 200 个整数解，
∴
不等式在
(0,200)
内有 100 个整数解，
∵f(x)
在
(0,200)
内有 25 个周期，
∴f(x)
在一个周期
(0,8)
内有 4个整数解，
(1)
若
a>0
，由
f2(x)+af (x)>0
，可得
f(x)>0
或
f(x)←a
，
显然
f(x)>0
在一个周期
(0,8)
内有 7个整数解，不符合题意；
(2)
若
a<0
，由
f2(x)+af (x)>0
，可得
f(x)<0
或
f(x)>−a
，
显然
f(x)<0
在区间
(0,8)
上无解，
∴f(x)>−a
在
(0,8)
上有 4个整数解，
∵f(x)
在
(0,8)
上关于直线
x=4
对称，
∴f(x)
在
(0,4)
上有 2个整数解，
∵f(1)=ln 2
，
f(2)= ln 4
2=ln 2
，
f(3)= ln 6
3
，
∴f(x)>−a
在
(0,4)
上的整数解为
x=1
，
x=2
．
∴ln6
3≤−a<ln 2
，
2
解得
−ln2<a≤−ln6
3
．
故选：C．
3. 已知函数
f(x)=x3+x2−2∨x∨−k .
若存在实数
x0
，使得
f(−x0)=−f(x0)
成立，则实数 k的取值范
围是（ ）
A.
¿
B.
¿
C.
¿
D.
¿
【答案】A
【解析】解：
∵f(x)=x3+x2−2∨x∨−k
且
f(−x0)=−f(x0)
，
∴−x0
3+x0
2−2∨x0∨−k=−(x0
3+x0
2−2∨x0∨−k)
整理得
x0
2−2∨x0∨¿k
，
∴
原题转化为
y=x2−2∨x∨¿
与
y=k
的图象有交点，
画出
y=x2−2∨x∨¿
的图象如下：
x=1
时
y=−1
，由图可知，
k ≥−1
．
故选 A．
4. 已知函数
f(x)=(x−a)ex−alnx
，若恰有三个正整数
x0
，使得
f(x0)<0
，则实数 a的取值范围是（
）
A.
¿
B.
¿
C.
¿
D.
¿
【答案】A
【解析】解：
f(x)
的定义域为
(0,+∞)
，
3
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