易错点7 函数的零点与方程根的关系-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 16 4 137.38KB 15 页 3知币
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易错点 7 函数的零点与方程根的关系
一、单选题
1. 若关于 x的不等式
x2+kx−1>0
在
[1,2]
区间上有解，则 k的取值范围是（ ）
A.
(−∞, 0)
B.
(−3
2,0)
C.
¿
D.
(−3
2,+∞)
【答案】D
【解析】解：关于 x的不等式
x2+kx−1>0
在区间
上有解，
∴kx >1−x2
在
x∈[1,2]
上有解，
即
k>1
x−x
在
x∈[1,2]
上成立；
设函数
f(x)= 1
x−x
，
x∈[1,2]
，
∴f '(x)=−1
x2−1<0
恒成立，
∴f(x)
在
x∈[1,2]
上是单调减函数，
且
f(x)
的值域为
[−3
2,0]
，
要
k>1
x−x
在
x∈[1,2]
上有解，则
k>−3
2
，
即实数 a的取值范围为
(−3
2,+∞)
．
故选 D．
2. 关于函数
f(x)=sinx+cos
|
x
|
有下述四个结论：
①f
(
x
)
的周期为
2π
；
②f
(
x
)
在
[
0,5π
4
]
上单调递增；
③
函数
y=f
(
x
)
−1
在
[
−π , π
]
上有 3个零点；
④
函数
f
(
x
)
的最小值为
−
√
2.
其中所有正确结论的编号
为（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
①③④
D.
②④
【答案】A
【解析】
f(x)=sinx+cos∨x∨¿sinx+cosx
，
f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)=f(x)
，故
①
正确
;
1
f(x)=sinx+cosx=
√
2 sin(x+π
4)
，当
x∈[0,5π
4]
，
x+π
4∈[π
4,3π
2]
，
函数先增后减，故
②
错误
;
f(x)=
√
2 sin(x+π
4)=1
，即
sin(x+π
4)=
√
2
2
，
x+π
4∈[−3π
4,5π
4]
，共
有2个解，故
③
错误
;
f(x)=
√
2 sin(x+π
4)
，最小值为
−
√
2
，故
④
正确．
故选 A．
3. 函数
f(x)=(x+2)lnx
的零点为（ ）
A.
−2
和1B.
(−2,0)
和
(1,0)
C.
(1,0)
D. 1
【答案】D
【解析】解：由
f(x)=0
得
(x+2)lnx=0
，因为
x>0
，所以
x+2>0
，所以
lnx=0
，解得
x=1
，
故选 D．
4. 形如
y=b
|
x
|
−c
(
c>0, b>0
)
的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为
“囧函数”
.
若函数
f
(
x
)
=ax2+x+1
p
¿
且
a ≠ 1¿
有最小值，则当
c=1, b=1
时的“囧函数”与函
的图象交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】解：
∵
函数
f
(
x
)
=ax2+x+1
(
a>0, a≠ 1
)
有最小值，
∴a>1
，
∵
当
c=1, b=1
时，
y=b
|
x
|
−c=1
|
x
|
−1
，
画出函数
y=1
|
x
|
−1
与
y=loga
|
x
|
的图象在同一坐标系数内的图象：
2
∴
结合图形，得到交点个数有 4个．
故选 C．
5. 下列函数中是奇函数且有零点的是（ ）
A.
f(x)=x+¿x∨¿
B.
f(x)=x−1+x
C.
f(x)=¿
+tanx
D.
f(x)=sin ¿
¿
【答案】C
【解析】解：对于选项 A：
f(x)=x+¿x∨¿
不是奇函数，与题意不相符，
对于选项 B：
f(x)=x−1+x
为奇函数，没有零点，与题意不符，
对于选项 C：
f(x)= 1
x+tanx
为奇函数， 是连续函数， 时，
y<0
，
x→ π
时，
y>0
，函
数存在零点，符合题意，
对于选项 D： 是偶函数，与题意不符，
故选：C．
6. 定义在 R上的函数
f(x)
同时满足：
①
对任意的
x∈R
都有
f(x+1)=f(x)
；
②
当
x∈¿
时，
f(x)=2−x .
若函数
g(x)=f(x)−logax(a>1)
恰有 3个零点，则 a的最大值是（ ）
A. 5B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：由
f(x+1)=f(x)
得函数的周期是 1，
3
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