易错点6 函数零点存在定理-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 13 4 64.6KB 9 页 3知币
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易错点 6 函数零点存在定理
一、单选题
1. 函数 的零点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】解：可知，当
x>0
时，令
lnx=0
，解得
x=1
，函数与 x轴有一个交点，为
(1,0)
，
当
x ≤ 0
时，令
−x(x+2)=0
，解得
x=0
或
，函数与 x轴有两个交点，为
(0,0)
或
(−2,0)
，
所以函数与 x轴有三个交点，
所以函数一共有三个零点，
故选 D．
2. 函数
f
(
x
)
=22−x−lnx ¿
提示：
e ≈2.718 ¿
的零点所在区间为（ ）
A.
(
0,1
)
B.
(
1,2
)
C.
(
2,3
)
D.
(
3,4
)
【答案】C
【解析】解：
∵f(1)=2>0
，
f(1)f(2)=2(1−ln 2)>0
，排除 B
f(2)f(3)=(1−ln 2)(1
2−ln 3)<0
，一定有零点
故选：C．
3. 已知 a是函数
f(x)=2x−lo g 1
2
x
的零点，若
0<x0<a
，则
f(x0)
的值满足（ ）
A.
f(x0)=0
B.
f(x0)>0
C.
f(x0)<0
D.
f(x0)
的符号不确定
【答案】C
【解析】解：
∵f(x)=2x−lo g1
2
x
在
(0,+∞)
上是增函数，
a是函数
f(x)=2x−lo g 1
2
x
的零点，
1
即
f(a)=0
，
∴
当
0<x0<a
时，
f(x0)<0
，
故选 C．
4. 若函数
y=f(x)
在区间
[0,4]
上的图象是连续不断的曲线，且方程
f(x)=0
在
(0,4)
内仅有一个实数根，
则
f(0)⋅f(4)
的值（ ）
A. 大于 0B. 小于 0C. 等于 0D. 无法判断
【答案】D
【解析】解；满足题中要求的函数
y=f(x)
图象可以有以下两种情况
由这两个图形得，
f(0)f(4)<0
，
由于
f(x)
定义在区间
(0,4)
上，即有
f(0)=0
或
f(4)=0
．
故选 D．
5. 下列结论正确的是（ ）
A. 若
f(x)
在区间
[a , b]
上连续不断，且
f(x)
在
(a , b)
内没有零点，则
f(a)· f (b)>0
．
B. 命题“三角形的内角和是
180∘
”的否命题是“三角形的内角和不是
180∘
”
.
C. “
a=2
”是“
(a−1)(a−2)=0
”的必要不充分条件．
D. 给定两个命题 p，q，若 p是q的充分不必要条件，则
¬ p
是
¬ q
的必要不充分条件．
【答案】D
【解析】
A .
若
f(a)=0
或
f(b)=0
，则结论不正确；
B.命题“三角形的内角和是
180 °
”的否命题是“非三角形的多边形内角和不是
180 °
”，B错误；
C.“
a=2
”是“
(a−1)(a−2)=0
”的充分不必要条件，错误；
D.若p是q的充分不必要条件，则由 p可得 q，由 q不能得 p，所以由
¬ q
可得
¬ p
，由
¬ p
不能得
¬ q
，
所以
¬ p
是
¬ q
的必要不充分条件，正确．
故选 D．
2
6. 函数
f(x)=lnx−3
x
在下列所给的区间内存在零点的是（ ）
A.
(
0,1
)
B.
(
1,2
)
C.
(
2,3
)
D.
(
3,4
)
【答案】C
【解析】解：函数 ，
，
，
∴
函数 的零点所在区间是
(
2,3
)
．
故选 C．
7. 函数
f(x)=2mx +4
，若在
(−2,1)
内恰有一个零点，则 m的取值范围是（ ）
A.
(−1,2)
B.
(1,+∞)
C.
(−∞,−2)∪(1,+∞)
D.
[−2,1]
【答案】 C
【解析】函数
f(x)=2mx +4
，若在
(−2,1)
内恰有一个零点，•
可得：
f(−2)⋅f(1)<0
并且
m≠ 0
，•
可得：
(4−4m)(2m+4)<0
，•
解得
m∈(−∞ ,−2)∪(1,+∞)
•
函数
f(x)=2mx +4
，若在
[−2,1]
内恰有一个零点，则 m的取值范围是
(−∞,−2)∪(1,+∞).
•
故选 C
.
8. “
f(a)⋅f(b)<0
”是“定义在区间
[a , b]
上的函数
y=f(x)
有零点”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由“
f(a)⋅f(b)<0
”不能推出“定义在区间
[a , b]
上的函数
y=f(x)
有零点”，函数
f(x)
必须连
3
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