押新高考山东卷第22题 概率与统计解答题-备战2020年高考数学临考题号押题（山东专用）（解析版）

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备战 2020 年高考数学临考题号押题（山东专用）
第22 题 概率与统计解答题
------------------------------- 导图助思 快速切入-------------------------------
[思维流程]——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
-------------------------------典例分析 规范答题------------------------------
(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物
试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲
药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一
种药治愈的白鼠多 4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得－1分；若
施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈
则两种药均得 0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为 α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为 i时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中 a＝
P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设 α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
(ⅱ)求p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性.
审题路线图
1
1确定 x的取值情况→求概率→写分布列
2确定系数 a，b，c→构造并证明等比数列
⃗
已知 P0, P8
求p4→说明试验方案的合理性
规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答
题 模 板
(1)解　X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β).………………………………………………………………3 分
所以 X的分布列为
X－10 1
P(1－α)β αβ+(1－α)(1－β)α(1－β)
…………………………………………………………………………………4 分
(2)(ⅰ)证明　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. ……………………………5 分
因此 pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故 0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即 pi＋1－pi＝
4(pi－pi－1). ………………………………………………………………………6 分
又因为 p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为 4，首项为 p1的
等比数列. ……………………………………………………………………7 分
(ⅱ)解　由(ⅰ)可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)
＝
48−1
3
p1.
第一步
定元：确定
随机变量的
意义和取
值.
第二步
定性：确定
概率模型并
计算随机变
量取每一个
值的概率.
第三步
列表：写出
随机变量的
分布列.
第四步
求解：利用
随机变量的
分布列，等
比数列累加
法并结合题
目条件求
解.
2
由于 p8＝1，故 p1＝
3
48−1
，……………………………………………10 分
所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝
44−1
3
p1
＝
1
257
.……………………………………………………………………11 分
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，
在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝
1
257
≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. …
12 分
评分细则　第(1)问：三个概率写正确给 3分；分布列写正确再给 1分.
第(2)问：(ⅰ)a，b，c三个值正确给 1分；写出推导公式给 1分，判断首项给 1分.
(ⅱ)利用等比数列累加列方程给 3分；求出 p4，写出结论给 1分.
-------------------------------高考真题 把握规律-------------------------------
1．（2019•新课标Ⅱ）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1分，当某局打成 10：10 平后，每球交换
发球权，先多得 2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时
甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方 10：10
平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束．
（1）求 P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【解答】解：（1）设双方 10：10 平后的第 k个球甲获胜为事件 Ak（k＝1，2，3，…），
则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（
A1A2
）
3
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