压轴题突破练03（解析版）

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压轴题突破练 3

1．(2020·北京东城区模拟)2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放．从 2G 到 5G，我们

国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为

了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机抽取了 1 000 人进

行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到 5G 的时段人数

早期体验用户 2019 年 8 月至 2019 年 12 月 270

中期跟随用户 2020 年 1 月至 2021 年 12 月 530

后期用户 2022 年 1 月及以后 200

我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出如

图的关系(例如早期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的

40%)．

(1)从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G

的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升

级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 X 的分布列和均值；

(3)2019 年底，从这 1 000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认

为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．

【解析】　(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之

前升级到 5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即＝0.8.

(2)由题意 X 的所有可能值为 0,1,2，记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生

愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”，事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该

学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”，由题意可知，事件 A，B 相互独立，且

P(A)＝1－40%＝0.6，P(B)＝1－45%＝0.55，

所以 P(X＝0)＝P( )＝(1－0.6)(1－0.55)＝0.18，

P(X＝1)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)

＝0.6×(1－0.55)＋(1－0.6)×0.55＝0.49，

P(X＝2)＝P(AB)＝0.6×0.55＝0.33，

所以 X 的分布列为

X 0 1 2

P 0.18 0.49 0.33

故 E(X)＝0×0.18＋1×0.49＋2×0.33＝1.15.

(3)设事件 D 为“从这 1 000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，那

么 P(D)＝≈0.02.

回答一：事件 D 虽然发生，但是发生可能性为 0.02，非常小，所以可以认为早期体验用户

没有发生变化．

回答二：事件 D 发生概率虽然小，但是也可能发生，所以可以认为早期体验用户人数增加．

2．(2020·青岛模拟)已知直线 l1过坐标原点 O 且与圆 x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，圆 M 过

点 A，B 且与直线 y＋2＝0 相切．

(1)求圆心 M 的轨迹 C 的方程；

(2)若圆心在 x 轴正半轴上面积等于 2π的圆 W与曲线C有且仅有 1 个公共点．

①求出圆 W的标准方程；

②已知斜率等于－1 的直线 l2，交曲线C于 E，F两点，交圆 W于 P，Q两点，求的最小值及

此时直线 l2的方程．

【解析】　(1)设 M(x，y)，由题意得，MO⊥AO，

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