压轴题突破练01（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 17 4 24.47KB 2 页 3知币

压轴题突破练 01

1．已知 P(0,1)是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)上一点，点 P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 2.

(1)求椭圆 C 的方程；

(2)设 A，B 是椭圆 C 上异于点 P 的两点，直线 PA 与直线 x＝4 交于点 M，是否存在点 A，使得

S△ABP＝S△ABM？若存在，求出点 A 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】　(1)由椭圆 C：＋＝1(a>b>0)过点 P(0,1)，得 b＝1，

又点 P 到两焦点距离之和为 2，即 2a＝2，a＝，

所以椭圆 C 的方程为＋y2＝1.

(2)假设存在，设 A(m，n)，依题意得，直线 PA 的斜率存在，则直线 PA 的方程为 y＝x＋1，

令 x＝4，得 y＝＋1，即 M，

因为 S△ABP＝S△ABM，所以＝，

所以＝＝，

又因为点 A 在 y 轴的右侧，所以＝，解得 m＝，

所以 A，代入椭圆 C 中，得 n＝±，

于是存在点 A，使得 S△ABP＝S△ABM.

2．(2020·潍坊模拟)已知函数 f(x)＝xln x－mx2(m∈R)，g(x)＝－－x＋.

(1)若函数 f(x)在(1，f(1))处的切线与直线 x－y＋1＝0 平行，求 m 的值；

(2)证明：在(1)的条件下，对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，f(x1)>g(x2)成立．

【解析】(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞ )，

f′(x)＝ln x＋1－mx，f′(1)＝1－m.

因为 f(x)在(1，f(1))处的切线与直线 x－y＋1＝0 平行，

所以 1－m＝1，即 m＝0.

(2)证明　由(1)知，f(x)＝xln x，可得 f′(x)＝ln x＋1.

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