新课改地区高三数学一轮专题复习第62讲 统计案例与线性回归分析（解析版）

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第62 讲：统计案例与线性回归分析
一、课程标准
1、会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.
2、了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
3、了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度.
二、基础知识回顾
1. 变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关
系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散
布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2. 两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之
间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为 y^ ＝ b^x ＋ a^ _，其中其中 a^，b^是待定参数，(yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间
几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3. 独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1， x 2}和{y1， y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
1
y1y2总计
x1a b a＋b
x2c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
利用随机变量 K2(也可表示为 χ2)的观测值 k＝(其中 n＝a＋b＋
c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
常用结论
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数 a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x－，y－)．
(2)根据 K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的 b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
三、自主热身、归纳总结
1、根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
得到的回归方程为 y＝bx＋a，则( )
A. a>0，b>0　　　 B. a>0，b<0
C. a<0，b>0　　　 D. a<0，b<0
【答案】 B
【解析】　由表中数据画出散点图，如图．
由散点图可知 b<0，a>0，选B.
2
2、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 x(万元)8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 y(万元)6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 y＝bx＋a，其中 b＝0.76，a＝y－－bx－.据此估计，该社区一户年收入为
15 万元家庭的年支出为( )
A. 11.4 万元　　 　 B. 11.8 万元
C. 12.0 万元　 D. 12.2 万元
【答案】 B
【解析】　x－＝＝10，y－＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15 时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
3、已知 x，y的取值如下表，从散点图可以看出 y与x具有线性相关关系，且回归方程为 y∧＝0.95x＋
a∧，则 a∧＝　　　　
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
【答案】 2.6
【解析】 因为回归直线必过样本点的中心（x，y），又 x＝2，y＝4.5，代入回归方程，得 a∧＝2.6.
5、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2×2列联表：
理科 文科
男13 10
女7 20
已知 P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025.　根据表中数据，得到 K2的观测值 k＝≈4.844，则认
为选修文科与性别有关系出错的可能性为　　　　
【答案】 5%
【解析】 K2的观测值 k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修
3
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