新课改地区高三数学一轮专题复习第61讲 离散型随机变量的均值与方差（解析版）

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第61 讲：离散型随机变量的均值与方差
一、课程标准
1、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
3、利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
二、基础知识回顾
1. 离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X的概率分布为
X x1x2…xi…xn
P p1p2…pi…pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量
取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝xi－E(x)]2pi为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均偏离程度，
D(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量 X的标准差．
2. 均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
(3)若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)时，E(X)＝．
4. 正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数 μ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数 μ和σ(σ>0)为参数)的图像为正态分布密度曲线，简称正
态曲线．(μ 是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
(2)正态曲线的特点
① 曲线位于 x轴上方与 x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称；
③ 曲线在 x＝μ处达到峰值；④曲线与 x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿 x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由 σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，σ越大，
1
曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
5. 正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)μ，σ(x)dx，则称随机变量 X服从正态分布，记
作X～N(μ，σ2)．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4．
三、自主热身、归纳总结
1、已知随机变量 X～B，D(2X＋1)＝( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】　∵随机变量 X～B，所以 D(X)＝6××(1－)＝，所以 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×＝6.故选 B.
2、 已知随机变量 X的分布列为
X 0 1
P p 1－p
若D(X)＝，则p的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】　由题可知随机变量 X的期望 E(X)＝1－p，所以方差 D(X)＝p×2＋×2＝，解得 p＝.故选 A.
3、设随机变量 X～N（3，σ2），若 P（X>m）＝0.3，则 P（X>6－m）＝　　　　
【答案】 0.7
【解析】 因为 P（X>m）＝0.3，所以 P（X<6－m）＝0.3，所以 P（X>6－m）＝1－P（X<6－m）＝0.7.
4、已知随机变量 X的分布列为
X－10 1
P
设Y＝2X＋3，则 E（Y）的值为　　　　
【答案】
【解析】 因为 E（X）＝－＋＝－，所以 E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－＋3＝.
5、某校在一次月考中约有 600 人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布 X～N（90，a2）（a>0，试卷满
分150 分）.统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试
成绩不低于 110 分的学生约有　　　　人.
【答案】 120
2
【解析】 因为成绩服从正态分布 X～N（90，a2），所以其正态分布曲线关于直线 x＝90 对称.又因为成绩
在70 分到 110 分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的×＝，所以
此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有×600＝120（人）.
四、例题选讲
考点一 离散型随机变量的均值与方差
例1、（2020 届山东省德州市高三上期末）随机变量 的取值为 、 、 ， ，
，则 ______.
【答案】
【解析】设 ，其中 ，可得出 ，
，
，解得 ，
因此， .
故答案为： .
变式 1、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017 年11 月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中
国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准
备在2018 年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独
具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20 个天坑院，每个天坑院投
资0.2 百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到 2020 年底每个天坑院盈利的概率
为
p
(0 1)p 
，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.
项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到
该项目上，到 2020 年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别
为p和
1p
.
（1）若投资项目一，记
1
X
为盈利的天坑院的个数，求
 
1
E X
（用 p表示）；
3
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