新课改地区高三数学一轮专题复习第53讲 双曲线（原卷版）

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第53 讲 双曲线
一、课程标准
1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．
3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
二、基础知识回顾
1、 双曲线的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定
点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合 P＝{M＝2a}，＝2c，其中 a，c为常数，且 a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点 P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点 P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点 P不存在．
2 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围 x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的
长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、常用结论
1
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
4、若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
四、自主热身、归纳总结
1、 双曲线－＝1的焦距为(　　)
A. 5 B. C. 2 D. 1
2、以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. x2－＝1 D. －＝1
3、已知双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方
程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
4、设 F1，F2是双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过 F2作C的一条渐近线的垂线，
垂足为 P.若|PF1|＝|OP|，则 C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
5、(多选)已知双曲线 C过点(3，)且渐近线为 y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线 y＝ex－2－1经过 C的一个焦点
D．直线 x－y－1＝0与C有两个公共点
6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一
条渐近线，则双曲线的方程为________．
7、(2020·广东揭阳一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点且与 x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成
一个正方形，则该双曲线的离心率为________．
五、例题选讲
考点一、双曲线的定义
例1　(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过F2的直
2
线与双曲线的右支交于 A，B两点，若△F1AB 是以 B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝____．
(2)已知点 P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心
(角平分线交于一点)，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为____．
变式 1、（华东师范大学附中 2019 届模拟）(1)设F1，F2是双曲线 x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一
点，且 3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l交双曲线左支于 A，B两点，则|BF2|＋|
AF2|的最小值为__________．
变式 2、已知 F是双曲线 C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF 周长最小时，该三
角形的面积为____．
方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲
线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，
建立为|PF1|·|PF2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还
是双曲线的一支．
考点二、双曲线的标准方程
例2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F和P(0，4)两点的直线平行于双曲
线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
变式 1、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为 12，离心率为；
3
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