新课改地区高三数学一轮专题复习第53讲双曲线（解析版）

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第53 讲双曲线

一、课程标准

1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．

3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.

二、基础知识回顾

1、双曲线的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定

点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合 P＝{M＝2a}，＝2c，其中 a，c为常数，且 a>0，c>0.

(1)当a＜c时，点 P的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，点 P的轨迹是两条射线；

(3)当a＞c时，点 P不存在．

2 、双曲线的标准方程和几何性质

标准方程－＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)

图形

性

质

范围 x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±x

离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

实虚轴

线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的

长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

三、常用结论

1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．

2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.

4、若 P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

四、自主热身、归纳总结

1、双曲线－＝1的焦距为(　　)　　　　　　　　　　　

A. 5 B. C. 2 D. 1

【答案】 C

【解析】由题意得 c2＝3＋2＝5，所以 c＝，所以双曲线的焦距为 2.

2、以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)

A. x2－＝1 B. －y2＝1

C. x2－＝1 D. －＝1

【答案】 A

【解析】设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以 a

＝1，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的标准方程为 x2－＝1.

3、已知双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方

程为( )

A. －＝1 B. －＝1

C. －＝1 D. －＝1

【答案】B

【解析】双曲线 C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±x，在椭圆中：a2＝12，b2＝3，∴c2＝9，c＝

3，故双曲线 C的焦点坐标为(±3，0)，∴双曲线中的方程组：＝，c＝3，c2＝a2＋b2，解得 a2＝4，b2＝5，

则双曲线 C的方程为－＝1.故选 B.

4、设 F1，F2是双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过 F2作C的一条渐近线的垂线，

垂足为 P.若|PF1|＝|OP|，则 C的离心率为(　　)

A. B．2

C. D.

【答案】C　

【解析】不妨设一条渐近线的方程为 y＝x，

则F2到y＝x的距离 d＝＝b.

在Rt△F2PO 中，|F2O|＝c，

所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，

又|F1O|＝c，所以在△F1PO 与Rt△F2PO 中，

根据余弦定理得

cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，

即3a2＋c2－(a)2＝0，得 3a2＝c2，所以 e＝＝.

5、(多选)已知双曲线 C过点(3，)且渐近线为 y＝±x，则下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为－y2＝1

B．C的离心率为

C．曲线 y＝ex－2－1经过 C的一个焦点

D．直线 x－y－1＝0与C有两个公共点

【答案】AC　

【解析】设双曲线 C的方程为－＝1，根据条件可知＝，所以方程可化为－＝1，将点(3，)代入得 b2＝1，

所以 a2＝3，所以双曲线 C的方程为－y2＝1，故 A对；离心率 e＝＝＝＝，故 B错；双曲线 C的焦点为

(2,0)，(－2,0)，将 x＝2代入得 y＝e0－1＝0，所以 C对；联立整理得 y2－2y＋2＝0，则 Δ＝8－8＝0，故只

有一个公共点，故 D错．故选 A、C.

6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为.若经过 F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一

条渐近线，则双曲线的方程为________．

【答案】－＝1

【解析】由离心率为，可知 a＝b，c＝a，所以 F(－a,0)，

由题意知 kPF＝＝＝1，

所以 a＝4，解得 a＝2，

所以双曲线的方程为－＝1.

7、(2020·广东揭阳一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点且与 x轴垂直的直线与双曲线的四个交点

组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．

【答案】

【解析】将x＝±c代入双曲线的方程得 y2＝⇒y＝±，则 2c＝，即有 ac＝b2＝c2－a2，由 e＝，可得 e2－e－1

＝0，

解得 e＝或 e＝(舍)．

五、例题选讲

考点一、双曲线的定义

例1　(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过F2的直

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