新课改地区高三数学一轮专题复习第52讲椭圆的几何性质（原卷版）

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第52 讲椭圆的几何性质

一、课程标准

1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质

2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围

3、掌握直线与椭圆的位置关系

二、基础知识回顾

1、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a，

－b≤y≤b

－b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－

a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b

焦距＝2c

离心率 e＝，　　e(0,1)∈

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分

别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积

为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.

(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．

4、．AB 为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则

(1)弦长 l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；

(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－.

5、直线与椭圆的关系

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或y)的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c

＝0)．

再求一元二次方程的判别式 Δ，当：

①Δ>0⇔直线与椭圆相交；

②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．

6、设直线 l与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线 l斜率，则AB＝|x1－x2|．

三、自主热身、归纳总结

1、直线 y＝kx－k＋1(k 为实数)与椭圆＋＝1的位置关系为( )

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能

第2题图

2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F

是椭圆 C的右焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C的离心率是____．

3、中心为原点，一个焦点为 F(0,5)的椭圆，截直线 y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是_

___________．

4、已知直线 y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于 A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为 2，则线段

AB 的长是(　　)

A. B.

C. D．2

5、(一题两空)已知点 F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点 P在此椭圆上，则椭圆离心率为________，

△PF1F2的周长为________．

四、例题选讲

考点一椭圆的离心率的值

例1　(1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆＋＝1(a ＞b＞0) 的左顶点为 A，左焦点为 F，

第(1)题图

上顶点为 B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____．

(2)已知 O为坐标原点，F是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆 C的左、右顶点．P为

椭圆 C上一点，且PF⊥x轴．过点 A的直线 l与线段 PF 交于点 M，与y轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的

中点，则C的离心率为____．

变式 1、(1)已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点 P在过 A且斜率为的

直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C. D.

变式 2、（四川省乐山一中 2019 届质检）设 F是椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆 C上的点，

圆x2＋y2＝与线段 PF 交于 A，B两点，若 A，B三等分线段 PF，则椭圆 C的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

变式 3、焦点在 x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该

三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.

变式 4、(2017 苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：＋＝1(a

＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆 C的右焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C的离心率是________．

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