新课改地区高三数学一轮专题复习第52讲 椭圆的几何性质（解析版）

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第52 讲 椭圆的几何性质
一、课程标准
1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质
2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围
3、掌握直线与椭圆的位置关系
二、基础知识回顾
1、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－
a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝，　　e(0,1)∈
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积
为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
1
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.
(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
4、．AB 为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则
(1)弦长 l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－.
5、直线与椭圆的关系
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或y)的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c
＝0)．
再求一元二次方程的判别式 Δ，当：
①Δ>0⇔直线与椭圆相交；
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
6、设直线 l与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线 l斜率，则AB＝|x1－x2|．
三、自主热身、归纳总结
1、直线 y＝kx－k＋1(k 为实数)与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能
【答案】A
【解析】　直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．
故选 A.
第2题图
2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F
是椭圆 C的右焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C的离心率是____．
【答案】
【解析】　∵kB2F·kAB1＝－1，－·＝－1，b2＝ac，即a2－c2＝ac，∴e＝＝.
3、中心为原点，一个焦点为 F(0,5)的椭圆，截直线 y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是_
___________．
2
【答案】：＋＝1
【解析】：由题设知 c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去 y，整理得
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
由根与系数的关系得 x1＋x2＝＝1，解得 a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.
4、已知直线 y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于 A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为 2，则线段
AB 的长是(　　)
A. B.
C. D．2
【答案】B
【解析】由条件知 c＝1，e＝＝，所以 a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交
点坐标为(0,1)，，所以|AB|＝.
5、(一题两空)已知点 F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点 P在此椭圆上，则椭圆离心率为________，
△PF1F2的周长为________．
【答案】　18
【解析】由椭圆方程知 a＝5，b＝3，c＝4，所以其离心率 e＝＝.△PF1F2的周长为 2a＋2c＝10＋8＝18.
四、例题选讲
考点一 椭圆的离心率的值
例1　(1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为 A，左焦点为 F，
第(1)题图
上顶点为 B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____．
(2)已知 O为坐标原点，F是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为椭圆 C的左、右顶点．P为
椭圆 C上一点，且PF⊥x轴．过点 A的直线 l与线段 PF 交于点 M，与y轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的
中点，则C的离心率为____．
【答案】（1） （2）
【 解 析 】 　 (1) 由 ∠ BAO ＋ ∠ BFO ＝90° ，∠BAO ＋ ∠ ABO ＝90° ，得 ∠ BFO ＝ ∠ ABO. 又 ∠ AOB ＝
∠AOB，∴△ABO∽△BFO，∴＝，即＝，
得ac＝b2＝a2－c2，变形得 e2＋e－1＝0，解得 e＝或(舍)，∴椭圆的离心率为.
(2)设M(－c，m)，则E(0，)，OE 的中点为 D，则D(0，)，又B，D，M三点共线，∴＝，解得 a＝
3
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