新课改地区高三数学一轮专题复习第51讲椭圆的方程（原卷版）

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第51 讲椭圆的方程

一、课程标准

1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程．

3、通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．

4、了解椭圆的简单的应用.

二、基础知识回顾

1、椭圆的定义

平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合 P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合 P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合 P为线段；

(3)若a＜c，则集合 P为空集．

2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分

别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积

为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点 P为短轴端点时，S取最大值，最大值为 bc.

(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．

三、自主热身、归纳总结

1、(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在 y轴上，且焦距为 4，则 m等于(　　)

A．5　　　　　　　　　 B．6

C．9 D．10

2、适合 b＝1，c＝，焦点在 y轴上的椭圆的标准方程是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. ＋y2＝1 B. ＋y2＝1

C. ＋x2＝1 D. ＋x2＝1

3、已知方程＋＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是( )

A. B. (1，2)

C. D. ∪

4、若点 D(2，3)在椭圆 M：＋＝1(m>0，n>0)上，且其中一个焦点是(－2，0)，则椭圆 M的方程为

（）

A. ＋＝1 B. ＋＝1

C. ＋＝1 D. ＋＝1

5、(2020·安徽江南十校模拟)已知椭圆 G的中心为坐标原点 O，点 F，B分别为椭圆 G的右焦点和短轴端点．

点O到直线 BF 的距离为，过 F垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G的方程是(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

四、例题选讲

考点一椭圆的定义及其应用

例1　已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点 F2(1，0)，动圆 M过点 F2，且与圆 F1相内切，那么点 M的轨迹 C

的方程为____．

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